Hallar el área de la región cuadrangular $EBCD$

Question

Como referencia:

Calcular el área de la región cuadrangular $EBCD$ , si $BC = 5$ y $AD = AC$ . $P$ es un punto tangente. (Respuesta: $64$ )

Mi progreso:

$\triangle OPD \sim \triangle ADC$

$AD=2OD \implies k=1:2$

Por lo tanto, $P$ es el punto medio $CD$ y $AP$ es la bisectriz perpendicular de $CD$ .

Cuadrilátero $ABCP$ es cíclico $(\because\angle ABC=\angle APC = 90^\circ).$ $\implies \angle PAC=\angle CBP= 26.5^\circ$

$AP$ es la bisectriz del ángulo.

$\triangle ACD \implies DAC = 53^\circ$

$\therefore \angle ADC= 63.5^\circ$

$AC \parallel OP$

$BP$ es tangente a la circunferencia en $P$ .

$\implies AC \perp BP$

$\therefore CAB = 26.5^\circ$

$BC \parallel ED (\perp AB)$

$\triangle ABC(\text{right}): (26.5^\circ, 63.5^\circ, 90^\circ) \implies(k, 2k, k\sqrt5)$

$\therefore k = 10\sqrt5 \implies AB = 2k = 10\\ BF = 2\sqrt5, BC = 5=CP=DP$

$AD = 5\sqrt5$

¿Alguna pista para terminar? .....

Answer 1

De las relaciones que ha descubierto, encontramos $AC=5\sqrt5$ y también lo es $AD$ .

Teniendo en cuenta el ángulo $26.5^\circ$ es aproximadamente igual al ángulo que obtenemos al bisecar el segundo mayor ángulo de un $3:4:5$ triángulo rectángulo, tenemos $\tan26.5^\circ\approx\frac12$ . ( Ver también )

Por lo tanto, podemos obtener fácilmente $$\sin(3\cdot26.5^\circ)\approx\frac{11}{5\sqrt5}.$$ También $$\cos(3\cdot 26.5^\circ)\approx\frac2{5\sqrt5}.$$

Ahora vemos $\triangle AED$ Los lados perpendiculares de la figura están en la proporción $2:11$ . (¡Un triángulo rectángulo especial!)

Por lo tanto, $AE=2$ y $ED=11$ .

De ahí el área del trapecio, $$[BCDE]=\frac{(5+11)}2\cdot8=64.$$

Answer 2

El problema no establece que $BP$ es tangente a $\odot O$ y dicha relación no es necesaria para las condiciones dadas. Por lo tanto, como se ha dicho, el problema no tiene una solución única.

Sin embargo, si asumimos $BP$ es tangente a $\odot O$ , entonces el área $$|EBCD| = \frac{25}{4} \csc^2 \frac{53\pi}{360} \left( 3 \cos \frac{37\pi}{180} - \sin \frac{7\pi}{60} \right) \approx 63.963317900822613862.$$ No puede ser exactamente $64$ .

Si dejamos que $\theta = 26.5^\circ = \frac{53\pi}{360}$ entonces es fácil ver que $\triangle APD \cong \triangle APC \cong \triangle ABC$ con $\angle BAC = \theta$ Por lo tanto $\angle BAD = 3\theta$ . Entonces $$|ABCD| = 3|AB||BC|/2 = \frac{75}{2} \cot \theta,$$ y $$r = OD = \frac{5}{2} \csc \theta,$$ y $$|\triangle AED| = r^2 \sin 6\theta.$$ Por lo tanto, $$|EBCD| = |ABCD| - |\triangle AED|,$$ que da el resultado reclamado.

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Como puedes ver, esto ilustra la importancia de no utilizar medidas aproximadas de ángulos. Si me dices que un ángulo es igual a $26.5^\circ$ Ese es el valor exacto que utilizaré. Las matemáticas no consisten en hacer suposiciones no declaradas, ni en deducir que existen bonitas relaciones enteras entre las longitudes de los lados basándose en la medida de un ángulo, ni en afirmar que algo es cierto cuando no se dice explícitamente.