La idea intuitiva de un mapa continuo es un "mapa que mantiene los puntos cercanos".
Observa el siguiente teorema/ejercicio sencillo:
Si $f:X\to Y$ es continua y $A\subset X$ está conectado entonces $f(A) \subset Y$ está conectado.
Así, al menos, una función continua no puede separar un conjunto conexo. Ahora bien, esta afirmación "global" también puede enunciarse "localmente": Para simplificar, supongamos que $X$ es un espacio localmente conectado. Tome algunas $x\in X$ y tomar barrios conectados cada vez más pequeños $A$ de $x$ . Entonces sus imágenes son vecindades conectadas de $f(x)$ También es cada vez más pequeño. Pero por muy pequeños que sean, todos los puntos de $f(A)$ debe estar conectado, a través de este barrio, a $f(x)$ por lo que los puntos cercanos (de $A$ ) se traducen a puntos cercanos (de $f(A)$ ).
Ya que ha mencionado la homología, permítame responder también de forma más general. Adopte un punto de vista categórico: La categoría de espacios topológicos. Las funciones continuas son simplemente las morfismos de esta categoría - son precisamente las funciones que preservan la estructura topológica.
En general, tome una categoría de conjuntos con una estructura adicional, como los espacios topológicos, o los grupos, o los anillos, o los espacios vectoriales, etc. Tomando dos conjuntos cualesquiera $X,Y$ en esta categoría, hay muchas funciones $f:X\to Y$ pero no todos son dignos de ser morfismos - algunas de ellas son sólo funciones de conjunto y no preservan la estructura adicional. En el caso de la topología, la estructura es la declaración de conjuntos abiertos, y la preservación de la estructura resulta ser que la preimagen de un conjunto abierto es abierta, que es precisamente la definición de una función continua.
Cuando digo que se conserva la estructura, no me refiero a que la imagen se parezca al origen. Me refiero a que la imagen parece un espacio topológico - tiene estructura topológica.
Sea cual sea la categoría, una vez conocidos los morfismos (topología - funciones continuas, grupos - homomorfismos, espacios vectoriales - transformaciones lineales, etc.), la definición de un isomorfismo (en topología - homeomorfismo) es siempre más o menos lo mismo:
Un morfismo es un isomorfismo si es invertible y su inverso es también un morfismo.
Entonces no sólo conserva la estructura (topológica), sino que las dos estructuras son idénticas.
