Operador Mod y divisibilidad por $3$ ?

Question

Quería demostrar que $n(n+1)(2n+1)$ es siempre divisible por tres, para ello he utilizado la siguiente aproximación:

$n = 0, 1\pmod2$

para $n = 0$ ; $$n(n+1)(2n+1) \equiv 0\pmod3$$

para $n = 1$ ; $$n(n+1)(2n+1) \equiv 0\pmod3$$

Pero ahora no estoy seguro de si esta es la forma correcta de hacer debido a lo siguiente, por ejemplo:

Dejemos que $k = \text{an odd number}\equiv 1\mod3$

para $k = 1$ ; $2k + 1 \equiv 0\pmod3$ por lo que para cada número impar $2k + 1$ es divisible por $3$ pero esto no es cierto.

Así que mi pregunta es el enfoque que estoy utilizando para probar $n(n+1)(2n+1)$ divisible por $3$ es erróneo o sólo el segundo ejemplo es erróneo?, y ¿por qué?

Answer 1

Tu primer error está al principio, cuando divides en dos casos según $n$ es par o impar. Estás viendo la divisibilidad por $3$ no por $2$ , por lo que es poco probable que importe si $n$ es par o impar; deberías mirar los casos $n\equiv 0\pmod3$ , $n\equiv 1\pmod3$ y $n\equiv 2\pmod3$ . Aquí está la mayor parte de una tabla que muestra las clases de congruencia mod $3$ de las expresiones implicadas.

$$\begin{array}{rcc} n\bmod3:&0&1&2\\ (n+1)\bmod3:&1&2&0\\ (2n+1)\bmod3:&1\\ \hline \big(n(n+1)(2n+1)\big)\bmod3:&0&&0 \end{array}$$

Con lo que ya he rellenado, puedes ver que $n(n+1)(2n+1)$ es divisible por $3$ cuando $n\equiv 0,2\pmod3$ Si terminas de rellenar la tabla, puedes terminar la prueba.

Answer 2

Cada número $n$ es congruente con $0$ , $1$ o $2$ mod $3$ .

Si $n \equiv 0 \pmod 3$ entonces $3 \mid n$ .

Si $n \equiv 1 \pmod 3$ entonces $2n \equiv 2 \pmod 3$ lo que implica $2n + 1 \equiv 3 \pmod 3$ lo que implica $2n + 1 \equiv 0 \pmod 3$ .

Si $n \equiv 2 \pmod 3$ entonces $n + 1 \equiv 3 \pmod 3$ lo que implica $n + 1 \equiv 0 \pmod 3$ .

Por lo tanto, para todos para todos $n$ , $n(n + 1)(2n + 1)$ es divisible por $3$ .

Answer 3

Tenga en cuenta que $2\equiv -1\bmod 3$ , por lo que tenemos $$ n(n+1)(2n+1)\equiv n(n+1)(-n+1)\equiv-n(n+1)(n-1)\bmod 3. $$ Por supuesto, $3$ divide uno de los números $n-1$ , $n$ y $n+1$ .

Answer 4

Escribir $$ n(n+1)(2n+1)=6\binom{n}{1}+18\binom{n}{2}+12\binom{n}{3}\tag{1} $$ vemos que $n(n+1)(2n+1)\equiv0\pmod{6}$ .