La razón por la que lo pregunto es porque aunque está acotado para entradas reales de la matriz, es más difícil ver si está acotado para entradas complejas.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
No, es una variedad afín no vacía en $\mathbb C^{n^2}$ y, por tanto, no tiene límites.
Por supuesto, uno puede ver esto explícitamente en este caso. Por ejemplo, podemos cambiar la base para que las formas cuadráticas sean $x_1x_2 + x_3x_4 + \cdots + x_{2m-1}x_{2m}$ (si $n = 2m$ es par) o $x_1x_2 + x_3x_4 + \cdots + x_{2m-1}x_{2m} + x_{2m+1}^2$ , si $n = 2m+1$ es impar.
En cualquier caso, $SO(n)$ contiene una copia de $(\mathbb C^{\times})^m,$ actuando a través de $(\lambda_1, \ldots,\lambda_m) \cdot (x_1,\ldots, x_n) = (\lambda_1 x_1, \lambda_1^{-1} x_2, \ldots, \lambda_m x_{2m -1} ,\lambda_m^{-1} x_{2m}, x_{2m+1})$ (omita la última entrada si $n = 2m$ es par); así que $(\mathbb C^{\times})^m$ está contenida en (de hecho es igual a) la intersección de $SO(n)$ con las matrices diagonales en $M_n(\mathbb C)$ .
Desde $\mathbb C^{\times}$ es ilimitado, también lo es $SO(n)$ .
