Homeomorfismo entre dos subespacios de $\mathbb{R}^n$

Question

Dejemos que $$X_1 = \left\{(0,0)\right\} \cup \left\{\left(0,\frac{1}{n}\right): n = 1,2... \right\} \cup \left\{\left(1,\frac{1}{n}\right): n = 1,2... \right\}$$ $$X_2=\left\{(0,0)\right\} \cup \left\{\left(\frac1n,\frac1m\right): n \ge m, m,n\in\mathbb{N}\right\}$$

Decidir si esos conjuntos son homeomórficos como subconjuntos de $(\mathbb{R}^2, d_e)$ .

Sospecho que no lo son, pero no encuentro una buena razón para ello. Ambos tienen un punto límite, por lo que el argumento más fácil no funciona. También en la vecindad de este punto y no puede ver nada especial.

Editar. ¿Es cierto que las vecindades de los puntos límite no son homeomorfas, porque una es compacta y la otra no? Si es así, ¿es suficiente?

Answer 1

El espacio $X_1$ puede descomponerse en dos conjuntos clopen (cerrados y abiertos), $$X_1=C_1 \cup C_2 $$ donde $C_1$ es un conjunto compacto que contiene el único punto límite, y $C_2$ es un conjunto discreto contablemente infinito. A saber, $C_1=\left\{(0,0)\right\} \cup \left\{\left(0,\frac{1}{n}\right): n = 1,2... \right\}$ y $C_2=\left\{\left(1,\frac{1}{n}\right): n = 1,2... \right\}$ .

Pero $X_2$ no tiene esa descomposición, por lo que $X_1$ , $X_2$ no son homeomórficos.

Para ver por qué, supongamos que $X_2$ sí tiene esa descomposición, $$X_2 = C_1 \cup C_2 $$ El conjunto $C_2$ es disjunta de alguna vecindad del único punto límite $(0,0)$ de $X_2$ . Desde $C_1$ es abierto, se deduce que $C_2 \subset \{(x,y) : y \ge \epsilon\}$ para algunos $\epsilon>0$ . El conjunto $C_1$ por lo tanto, contiene una secuencia sin subsecuencia convergente, a saber $(1/n,1/m)$ para algún valor fijo de $m > 1/\epsilon$ . Eso contradice la compacidad de $C_1$ .