Valores de $a$ tal que $\log_2(x^2)=a\sqrt{\log_2(x^4)}+a-1$ tiene 4 soluciones

Question

Estoy estudiando logaritmos y funciones exponenciales y estoy trabajando en esta pregunta:

Encuentre todos los valores reales de $a$ tal que la ecuación $\log_2(x^2)=a\sqrt{\log_2(x^4)}+a-1$ tiene exactamente 4 soluciones reales.

¿Puede alguien ayudarme?

Answer 1

Sugerencia

Escribe $t=\log_2x^2$ y observe que $\log_2 x^4=\log_2 (x^2)^2=2\log_2 x^2.$ Así, la ecuación original puede escribirse como

$$t=a\sqrt{2t}+a-1.$$ Encuentre $a$ de manera que esta ecuación tiene dos soluciones diferentes $t_1,t_2.$ Entonces, $$\log_2x^2=t_i\iff x^2=2^{t_i} \iff x=\pm\sqrt{2^{t_i}}$$ le ofrece las cuatro soluciones diferentes.

Answer 2

Poner $\sqrt{\log_2(x^2)}=X$

la ecuación se convierte en

$X^2-aX\sqrt{2}-a+1=0$

debe tener dos raíces reales .

así

$\delta=2(a^2+2a-2)>0$

y

$$a\in (-\infty,-1-\sqrt{3})\cup (-1+\sqrt{3},+\infty)$$

Answer 3

Puedes escribir:

\begin{equation} 2\log_2x-2a\sqrt{\log_2x}+a-1=0\\2t^2-2at+a-1=0 \end{equation}

donde $t=\log_2x$ y hay que resolver esta ecuación aplicando $\Delta>0$ .