¡¡¡Quiero generar la relación de recurrencia para la solución entera de la ecuación 3m² - 2n² = 1 ; Soy un estudiante de décimo grado, y por lo que me tomó bastante tiempo para salir de la normal de la Fórmula Cuadrática y esas cosas y darse cuenta de que existen cosas como el Teorema de Cayley-Hamilton, pero, por desgracia, soy lo suficientemente inexperto como para incluso intentar eso !!! Utilicé métodos de resolución de Diofantinas, manipulándolo pero terminé desordenando la ecuación ... Con referencia a la de Ryan Generación de soluciones enteras a partir de una ecuación hiperbólica Agradecería si alguien puede explicar la solución de Will Jagy y cómo llegó a la recurrencia x n+2 \= 6x n+1 - x n
Respuestas
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La ecuación es la misma que $$(3m)^2-6n^2=3$$ que en efecto es lo mismo que $$r^2-6n^2=3$$ ya que cada solución de este tiene $3\mid r$ . Eso es lo mismo que $$(r+n\sqrt6)(r-n\sqrt6)=3.$$ Ahora $$(5+2\sqrt6)(5-2\sqrt6)=1.$$ Si $$r'+n'\sqrt6=(5+2\sqrt6)(r+n\sqrt6)$$ entonces $$r'-n'\sqrt6=(5-2\sqrt6)(r-n\sqrt6)$$ lo que lleva a $$r'^2-6n'^2=(r'+n'\sqrt6)(r'-n'\sqrt6)=(5+2\sqrt6)(r+n\sqrt6) (5-2\sqrt6)(r-n\sqrt6)=3.$$
Entonces $r'=5r+12n$ y $n'=2r+5n$ . Si dejamos que $m'=r'/3=5m+4n$ entonces $n'=6m+5n$ y $$3m'^2-2n'^2=1.$$ Así que podemos empezar con $(m_0,n_0)=(1,1)$ y luego definir recursivamente $$(m_{k+1},n_{k+1})=(5m_k+4n_k,6m_k+5n_k).$$ Entonces $$m_{k+2}=5m_{k+1}+4n_{k+1}=5m_{k+1}+24m_k+20n_k=10m_{k+1}-m_k$$ y de forma similar para $n_k$ .
Stephan Aßmus
Puntos
16
Esperaría que te fuera mejor con el método topográfico de Conway. Todo lo que implica aquí se puede hacer sin matrices reales, incluyendo la recursión. Supongo que pondré algunos libros, incluyendo uno nuevo muy bueno, CONWAY y HATCHER . También existe (he comprado un ejemplar) una nueva bien ilustrada de WEISSMAN
Esta vez es $$ x_{n+2} = 10 x_{n+1} - x_n \; \; , $$ $$ y_{n+2} = 10 y_{n+1} - y_n \; \; . $$
Estos provienen de la regla combinada de un paso $$ (x_{n+1}, y_{n+1}) = (5 x_n + 4 y_n \; , \; 6 x_n + 5 y_n) $$ que se obtiene muy rápidamente con Conway. Aquí hay una versión bastante básica de la topografía para $3x^2 - 2 y^2,$ mostrando varios lugares con $3 x^2 - y^2 = 1$ etiquetados con el correspondiente $\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ en verde
Entonces la separación en dos reglas se puede hacer sin matrices, lo escribí en http://math.stackexchange.com/questions/1786760/recursive-system-solution/1786850#1786850
Mon Apr 2 10:34:50 PDT 2018
x: 1 y: 1
x: 9 y: 11
x: 89 y: 109
x: 881 y: 1079
x: 8721 y: 10681
Mon Apr 2 10:34:53 PDT 2018
