Para $[a]_n$ en $\Bbb Z_n$ ¿Cuál es el orden de un elemento invertible?

Question

Hasta ahora sé que si $$[a]_n[b]_n = [1]_n$$ para alguna clase de congruencia $[b]_n$ entonces $[a]_n$ es un elemento invertible de $\Bbb Z_n$ .

También para la definición de una orden: Sea $\sigma$ estar en $S_n$ . El menor número entero positivo $m$ tal que $(\sigma)^m = (1)$ se llama el orden de $\sigma$ .

¿Significa esto que el orden es infinito? No consigo relacionar estas dos cosas.

Answer 1

Por el Teorema de Euler, sabemos que

$$a^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod{n}$$

siempre que $a$ y $n$ son relativamente primos, y donde $\varphi$ es la función totiente de Euler. En el lenguaje de las clases de congruencia, esto significa que

$$[a]_n [a^{\varphi(n) - 1}]_n = [1]_n$$

Ahora un elemento de $\mathbb{Z}_n$ es invertible si y sólo si $\gcd{(a, n)} = 1$ (¡demuéstralo!), por lo que el orden de cualquier elemento invertible no puede ser mayor que $\varphi(n)$ . En particular, es muy finito (más generalmente, en cualquier grupo finito, cada elemento tiene un orden finito).