$f\cdot g=0 \implies f=0 $ o $g=0$ .

Question

Sé que esto es algo obvio:

Dejemos que $f,g \in \Bbb K[x]$ entonces $$f\cdot g=0 \implies f=0 \text{ or } g=0$$

Pero para mi sorpresa no pude probarlo. ¿Cuál es una forma sencilla de hacerlo?

Answer 1

De forma equivalente, se puede demostrar que $f \neq 0 \neq g \implies fg \neq 0$ . Para ello, supongamos que $f \neq 0 \neq g$ , donde $\deg f = m$ y $\deg g = n$ . A continuación, explique por qué el coeficiente de $x^{m+n}$ es distinto de cero.

Answer 2

(Como) dice Simon: Supongamos que ninguno de los dos es 0. Y otra forma de concluir es que si ninguno de los dos poli. es $0$ entonces $f.g= a_nb_m x^{n+m}+...$ es decir, el producto será un polígono de grado $m+n$ para que pueda tener como máximo $m+n$ ceros, a diferencia del $0$ polinomio, a menos que....

EDIT: Pero, como dijo el Sr. Chonoles, esto es cierto sólo si los coeficientes están en un dominio integral; puedes tener, por ejemplo $f =3x^2, g=2x^4 $ , en $\mathbb Z_6$ entonces $f.g=0$ aunque ninguno de los dos es el $0$ polinomio.