Cómo encontrar todas las posibles funciones de $f(x,y)$ tales como:
$$ \frac{\sqrt{3}}{2}f_x+\frac{1}{2}f_y=0$$
(con $f_x = \frac{\partial{f}}{\partial{x}}$ )
Aquí está todo lo que he intentado:
1) puedo adivinar el más simple de los casos, $f_x=k$$f_y=-k\sqrt{3}$, por lo que la siguiente es una solución de (pero no todas las funciones posibles): $$ f(x,y)= k(x-\sqrt{3}y)+c$$
2) La ecuación podría ser escrito como:
$$ cos (\frac{\pi}{6})f_x+sin(\frac{\pi}{6})f_y=0$$
Pero yo culdn no ver lo que puedo hacer con eso.
3) Por el teorema de la función implícita, pude encontrar que:
$$\frac{1}{\sqrt{3}} = - \frac{f_x}{f_y} = \frac{dy}{dx} $$
Por lo $f(x,y)$ tiene curvas de nivel en el formulario:
$$y=\frac{x}{\sqrt{3}}+c $$
4) yo también podría encontrar las curvas de nivel al notar que la ecuación dice que la derivada parcial de $f(x,y)$ en la dirección de $\langle\sqrt{3},1\rangle$ es cero.
5) O por la solución de la ecuación diferencial:
$$ dx-\sqrt{3}dy=0 $$
Pero, 3), 4) y 5) no podía ayudar, ya que no sé cómo encontrar a $f(x,y)$ sobre la base de sus curvas de nivel.
6) Después de un poco de ensayo y error he podido encontrar (y demostrar) que para cualquier $g:R\rightarrow R$ la siguiente función es aceptar:
$$ f(x,y) = g(x-\sqrt{3}y) $$
También puedo ver que $\langle\sqrt{3},1\rangle$ es perpendicular a $\langle1,-\sqrt{3}\rangle$, por lo que está relacionado con el hecho de que la derivada parcial de $f(x,y)$ en la dirección de $\langle\sqrt{3},1\rangle$ es cero.
Puedo ver que estoy muy cerca, pero no puedo averiguar:
- Cómo probar que todas las posibles funciones se de que forma?
- Cómo podría saber que se forman por los cálculos?
Si hay diferentes maneras de encontrar la forma general de la $f(x,y)$ o para probarlo, me gustaría leer acerca de todos ellos.
