¿Podemos construir un homomorfismo de un módulo proyectivo a un módulo libre?

Question

En resumen, tengo un módulo proyectivo y un módulo libre, y quiero construir un homomorfismo de módulo entre los dos. ¿Es esto siempre posible, al menos de alguna manera?

Permítanme entrar en más detalles. Supongamos que tenemos un anillo conmutativo $S$ y un grupo finito $G$ para que podamos construir el anillo de grupo (probablemente no conmutativo) $R=S[G]$ . Ahora, supongamos que tenemos un proyectivo $R$ -Módulo $P$ tal que $rk_S(P)=rk_S(F)$ donde $F$ es algún libre finitamente generado $R$ -módulo. Quiero construir un $R$ -homomorfismo de módulo de $P\to F$ o $F\to P$ (cualquiera de los dos se ajusta a mi propósito). Estaba pensando en el siguiente argumento, pero no estoy seguro de que sea válido. Supongamos que $F=R^a$ para algunos $a\geq 1$ . Desde $P$ es proyectiva, entonces existe alguna $R$ -mod $Q$ tal que $P\oplus Q\cong R^\alpha$ donde $\alpha\geq a$ (igual a $a$ cuando $P$ es gratis). Puedo inyectar $R^a\to R^\alpha$ enviando $(r_1,\ldots,\,r_a)\mapsto(r_1,\ldots,\,r_a,\,0,\ldots,\,0)$ (aquí tenemos $\alpha-a$ ceros). Además, puedo proyectar $R^\alpha\to P$ por el mapeo $(p,\,q)\mapsto p$ . ¿La composición de estos dos mapas no es una $R$ -mod homomorfismo, o estoy siendo tonto?

Answer 1

Dado cualquier $R$ -módulos $M$ y $N,$ hay al menos una $R$ -homomorfismo de módulo $M\to N.$ En particular, siempre existe el homomorfismo trivial $m\mapsto 0_N.$

Answer 2

Si $M$ es un módulo proyectivo no trivial y $N=R^n$ para $n\geq 1$ y se quiere un homomorfismo no trivial $M\to N$ podría hacer lo siguiente.

Como todo módulo proyectivo es (isomorfo a) un sumando directo de un módulo libre $F$ se tendría un homomorfismo inyectivo $g:M\to F$ . Si $F$ tiene menor rango que $M$ entonces es fácil llegar a otro homomorfismo inyectivo $f:F\to N$ y tienes un homomorfismo inyectivo $fg:M\to N$ .

Si sucede que $F$ tiene un rango más alto, entonces ciertamente se puede usar un homomorfismo surjetivo $f$ de $F$ en $N$ de donde se obtiene un mapa no nulo $fg:M\to N$ de nuevo.