$f(x,y)=\frac{x^2y}{x^4+y^2}$ para $(x,y)\neq(0.0)$ y $f(0,0)=0$ . Mostrar $\partial f/\partial y$ no está acotado

Question

Estaba trabajando en este problema y necesito mostrar que

Dejemos que $f:\mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R$ se definirá de la siguiente manera:

$f(x,y)=\frac{x^2y}{x^4+y^2}$ para $(x,y)\neq(0.0)$ y $f(0,0)=0$ .

¿Cómo puedo demostrar rigurosamente que $\frac{\partial f}{\partial y}$ no está acotado.

Me hago una idea de por qué no está acotado. Simplemente se calcularía el parcial y se vería cómo se comportan los grados de los dos polinomios en el denominador y el numerador. Pero no estoy seguro de que esto sea aceptable.

Además, ¿existe un criterio general para demostrar que una función de dos variables no está no está acotada?. Puede simplemente mostrar que el límite va al infinito como $(x,y)$ va al infinito? Esto es algo que se me ha escapado cuando aprendí multivariable cálculo multivariable. ¿Alguien puede ayudarme?

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Esta es la definición de una función de $\mathbb{R}^2$ a $\mathbb{R}$ siendo ilimitado:

$f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ es ilimitado si para cada $C \geq 0$ existe $(x,y)\in\mathbb{R}^2$ tal que $|f(x,y)| \geq C$ .

Esto es todo lo que necesitas para resolver este problema. No es necesario hacer nada con los grados de los polinomios.

Como has sugerido, calculemos la derivada parcial con respecto a $y$ :

$$ \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x^2}{x^4+y^2} - \frac{2x^2y^2}{(x^4+y^2)^2}$$

¿Podemos hacer $\left|\frac{\partial f}{\partial y}\right|$ más grande que cualquier $C \geq 0$ ? Sugerencia: ¿cómo $\left|\frac{\partial f}{\partial y}\right|$ se comportan a lo largo de la línea $y=0$ ?