evaluación de esta integral con una parte fraccionaria

Question

Considere la integral $$ \int_{0}^{\infty} \left\{\frac{1}{\sqrt{t}}\right\}e^{-t/a} \mathrm dt $$ donde $ \{x\} =x-[x] $ es la parte fraccionaria de $x\in \Bbb R$ . Utilizando la representación de la función gamma más la continuación analítica

$$ \Gamma (s) = \int_{0}^{\infty}t^{s-1} \mathrm e^{-t}\mathrm dt $$ ¿o hay un cálculo directo de esta integral? gracias.

Answer 1

Me pregunto si existe una expresión bonita de esta integral (es decir, la conoces), o no lo sabes. La sustitución $t = y^{-2}$ nos da una integral $$ 2\int_0^\infty \frac{\{y\}}{y^3}\mathrm e^{-1/ay^2}\mathrm dy = 2\sum_{k=0}^\infty\int_k^{k+1} \frac{y-k}{y^3}\mathrm e^{-1/ay^2}\mathrm dy. $$ Esta última integral puede evaluarse, por ejemplo, en Mathematica para $a>0$ : $$ \int_k^{k+1} \frac{y-k}{y^3}\mathrm e^{-1/ay^2}\mathrm dy = \frac{k}{2a}\left(\mathrm e^{-a/k^2} - \mathrm e^{-a/(k+1)^2}\right) + \sqrt{\frac{\pi}{2a}}\left(\Phi\left(\frac{\sqrt a}{k} \right)- \Phi\left(\frac{\sqrt a}{k+1}\right)\right) $$ donde $\Phi$ es la función de error $\mathrm{Erf}$ . Como resultado, la segunda parte de la suma es telescópica y le da $$ \sum_{k=0}^\infty \sqrt{\frac{\pi}{2a}}\left(\Phi\left(\frac{\sqrt a}{k} \right)- \Phi\left(\frac{\sqrt a}{k+1}\right)\right) = \sqrt\frac{\pi}{2a} $$ mientras que para la primera parte tienes $$ \sum_{k=0}^\infty \frac{k}{2a}\left(\mathrm e^{-a/k^2} - \mathrm e^{-a/(k+1)^2}\right) $$ que también se puede simplificar aún más - no estoy seguro en este momento.

Actualizado: Obviamente, sostiene que $$ \sum_{k=0}^\infty k (f_k -f_{k+1}) = f_1 - f_2 +2f_2 - 2f_3 + 3f_3 -3f_4 + \dots $$ $$ =f_1+f_2+f_3+\dots = \sum_{k=1}^\infty f_k. $$ Si no me equivoco, entonces $$ \sum_{k=0}^\infty \frac{k}{2a}\left(\mathrm e^{-a/k^2} - \mathrm e^{-a/(k+1)^2}\right) = \frac1{2a} \sum_{k=1}^\infty \mathrm e^{-a/k^2} =\infty $$ y por tanto la integral original es infinita.