Los dos operadores no son idénticos, sin embargo se aproximan el uno al otro en el límite semiclásico. Para demostrarlo, podemos calcular los elementos matriciales de las dos expresiones en un conjunto completo de estados y mostrar que los elementos matriciales se aproximan entre sí. (En sentido estricto se trata de una convergencia débil).
Realizaré el cálculo en una dimensión, la generalización a dimensiones superiores es sencilla.
Una base posible es la base del estado coherente. Los estados coherentes son estados propios del operador de campo $\Psi(x)$ . La base de los estados coherentes es sobrecompleta y especialmente conveniente para las aproximaciones semiclásicas.
En esta base cada partícula de Schrodinger está etiquetada por una posición y un momento y para $n$ partículas de Schroedinger, tiene la forma $| x_1, ..., x_n; p_1, ..., p_n \rangle $ , tal que la acción del operador de campo sobre el estado coherente:
$$\Psi(x) | x_1, ..., x_n; p_1, ..., p_n \rangle = \prod_{i=1}^n \sqrt[\LARGE 4]{\frac {m \omega}{ \pi \hbar }} e^{ \large -\frac{m \omega}{2\hbar}(x-x_i)^2 + \frac{ixp_i}{\hbar}} | x_1, ..., x_n; p_1, ..., p_n \rangle $$
Los factores del lado derecho consisten en las funciones de onda del estado coherente que Schrodinger escribió en 1926.
El parámetro constante $\omega$ es una constante con unidades de frecuencia angular.
El elemento matricial de la corriente eléctrica (me he tomado la libertad de añadir la carga eléctrica de la partícula a la expresión) se puede calcular fácilmente:
$$\langle x_1, ..., x_n; p_1, ..., p_n |j(x) | x_1, ..., x_n; p_1, ..., p_n \rangle = e \sum_{i=1}^n \frac{p_i}{m} \sqrt{ \frac { m \omega}{ \pi \hbar}} e^{-\frac{m \omega}{\hbar}(x-x_i)^2 }$$
Los primeros factores son sólo las velocidades:
$$v_i = \frac{p_i}{m}$$
El segundo término se aproxima a una función delta en el límite semiclásico:
$$\lim_{\hbar \to 0} \sqrt{ \frac {m \omega }{ \pi \hbar}} e^{-\frac{m \omega}{\hbar}(x-x_i)^2 } = \delta(x-x_i)$$
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La j(r) compuesta por operadores de campo opera sobre el espacio de Fock, por lo que se podría obtener una expresión similar a la segunda j(r) si se aplica sobre el estado multipartícula adecuado. Es un operador mecánico cuántico, sus valores propios serán corrientes de probabilidad, mientras que el segundo j(r) consiste en densidades de corriente de carga. Sobre todo, la expresión clásica de $j(r)$ supone el conocimiento de la posición de las partículas implicadas lo que no es el caso de $j(r)$ compuesto por operadores cuánticos-mecánicos. Son muy diferentes, ya que el primero se basa en la QM, mientras que el segundo en la física clásica.