¿Puede una acción no trivial de un grupo conexo en un esquema reducido ser trivial en un abierto denso?

Question

Es bien sabido que si un grupo algebraico reducido $G$ actúa sobre un separados reducidos esquema $X$ y $G$ actúa trivialmente sobre un subesquema abierto denso $U\subseteq X$ entonces la acción es trivial.

Si $X$ no es reducido, el contraejemplo estándar es $\def\AA{\mathbb A}$$ \AA^1 $ with an embedded point, with the group acting non-trivially on the embedded point. If $ X $ is non-separated, the standard counterexample is $ \AA^1 $ with a doubled origin with $ G $ swapping the two origins. My question is whether the separated hypothesis can be removed if $ Se supone que G$ es conectado .

Supongamos que $G$ es un conectado esquema de grupo que actúa sobre un reducido esquema $X$ y que $G$ actúa trivialmente sobre un subesquema abierto denso $U\subseteq X$ . ¿La acción debe ser trivial?

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Como referencia, el argumento básico de la versión original es que los gráficos de los dos morfismos $G\times X\to X$ (proyección y acción) son subesquemas cerrados de $G\times X\times X$ (ya que los gráficos son pullbacks de la diagonal de $X$ que se supone separada) que comparten un abierto denso común (la imagen de $G\times U$ ). Dado que $G\times X\times X$ se reduce, esto significa que los dos gráficos coinciden, por lo que los mapas de acción y proyección son los mismos.

† Para las personas con características finitas, en realidad asumo $G$ se reduce, pero esto está bien ya que la acción sobre un esquema reducido debe ser un factor a través de la reducción de $G$ de todos modos.

Answer 1

Déjeme trabajar sobre un campo algebraicamente cerrado $k$ , dejemos que $X$ sea un reducido $k$ -de tipo finito y que $G$ sea una zona lisa y conectada $k$ -esquema de grupo que actúa sobre $X$ y actuando trivialmente sobre un subconjunto denso abierto $U$ de $X$ . Demostraré que $G$ actúa trivialmente sobre $X$ .

Sólo manipularé puntos cerrados. Dado que ambos $G$ y $X$ se reducen, basta con demostrar que para cualquier $g\in G$ y $x\in X$ , $gx=x$ .

Arreglemos $x\in X$ . Por supuesto, podemos suponer que $x\notin U$ . Sea $V$ sea una vecindad afín de $x$ . Por la cuasicompacidad de $X$ el subconjunto abierto $GV$ está cubierto por un número finito de $gV$ , digamos que $GV=\cup_i g_iV$ . Desde $U$ es denso en $X$ es posible encontrar una curva suave $C$ y un morfismo $C\to V$ cuya imagen contiene $x$ y se cruza con $U$ . Hasta la eliminación de puntos de $C$ podemos suponer que $x$ es el único punto de la imagen de $C$ que no pertenece a $U$ .

Ahora, si $g\in G$ , $gx\in g_i V$ para algunos $i$ . Considere $g(C)$ (esto es un abuso de la notación para la composición de $C\to V$ y de la acción de $g$ ) : su imagen contenida en $g_iV$ . Coincide genéricamente con $g_i(C)$ por lo que los morfismos $g(C)$ y $g_i(C)$ son iguales por separación de $g_iV$ ( $g_iV$ es incluso afín). Esto muestra $gx=g_ix$ . Hemos demostrado $Gx\subset $ { $g_1x,\dots, g_rx$ }. Dado que $G$ está conectado, $Gx$ también está conectado. Esto muestra $Gx=$ { $x$ } y termina la prueba.

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Además, la hipótesis de que $G$ es suave puede ser eliminado de la siguiente manera. En primer lugar, tratamos el caso en el que $X$ se separa y se reduce. En este caso, los argumentos dados por Anton en la pregunta siguen funcionando : los gráficos de la acción y de la proyección son subesquemas cerrados de $G\times X\times X$ isomorfo a $G\times X$ que coinciden en un subconjunto denso abierto $U$ . Desde $G\times X$ no tiene ningún punto incrustado ( $X$ se reduce y $G$ homogénea), estos dos gráficos tienen que coincidir con el cierre esquemático de $U$ en $G\times X\times X$ y por lo tanto son iguales.

A continuación, tratamos el caso general ( $G$ conectado, $X$ reducido) de la siguiente manera. Aplicando el resultado cuando el grupo es liso conectado y el espacio se reduce a $G^{red}$ actuando sobre $X$ muestra que $G^{red}$ actúa trivialmente sobre $X$ . En particular, $G^{red}$ estabiliza todo subconjunto abierto afín de $X$ esto implica que $G$ también estabiliza todo subconjunto abierto afín de $X$ . Aplicando el resultado cuando el grupo está conectado y el espacio está separado y reducido a $G$ actuando sobre cualquier subconjunto abierto afín de $X$ muestra que $G$ actúa trivialmente en cualquier subconjunto abierto de $X$ Por lo tanto, en $X$ .