Demuestre la siguiente propiedad de un ultrafiltro

Question

En su texto Introducción a la teoría moderna de conjuntos , Judith Roitman definió el filtro de un conjunto $X$ en familia $F$ de subconjuntos de $X$ para que:
(a) Si $A \in F$ y $X \supseteq B \supseteq A$ entonces $B \in F$ .
(b) Si $A_1, ... ,A_n$ son elementos de $F$ Así es $A1 \cap ... \cap An$ .

Luego procedió a definir un ultrafiltro como tal: "Si $F$ es adecuado y, para todos los $A_n \subseteq X$ , ya sea $A \in F$ o $X-A \in F$ decimos que $F$ es un ultrafiltro".

Ahora, supongamos que $F$ es un ultrafiltro en un conjunto $X$ . Demostrar que si $X = S_1 \cup ... \cup S_n$ , entonces algunos $S_n \in F$ . Escribió: "Si no, entonces, ya que no $S_i \in F$ , $F$ es adecuado, y cada $X-S_i \in F$ . Así que $\bigcap_{i \le n}(X-S_i) \in F$ . Pero $\bigcap_{i \le n}(X-S_i) = \emptyset \notin F$ .

Lo que no entendí es que si ya definía un ultrafiltro como propio, por qué tenía que decir "ya que no $S_i \in F$ , $F$ es apropiado..."? Mi pensamiento era que si $X = S_1 \cup ... \cup S_n$ no es un elemento de $F$ entonces por el hecho de que $F$ es un ultrafiltro, $X^c$ = $\bigcap_{i \le n}(X-Si) \in F$ pero $X^c = \emptyset \notin F$ creando una contradicción. ¿He entendido algo mal?

Answer 1

Si yo estuviera escribiendo ese texto, lo habría señalado para recordárselo al lector. Sobre todo cuando en una sola frase se deriva una contradicción.

Answer 2

No está diciendo que $F$ es apropiado porque no $S_i\in F$ . Apostaría a que se refería a algo así:

Si no es así, como no hay $S_i\in F$ , entonces cada $X\setminus S_i\in F$ y por lo tanto $\bigcap_{i\le n}S_i F$ . Pero entonces $\varnothing=\bigcap_{i\le n}S_i \in F$ lo cual es imposible, ya que $F$ es apropiado.

Añadido: En otras palabras, la afirmación de que $F$ es propio se coló inadvertidamente antes de que se quisiera realmente. Supongo que se trata simplemente de un pequeño desliz mental o de un bolígrafo por parte de Judy que no se notó en ninguna de las revisiones.