Un límite en la derivada de una función cóncava a través de otra función cóncava

Question

Dejemos que $f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+$ y $g:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+$ sean dos funciones estrictamente cóncavas, estrictamente crecientes y dos veces diferenciables, tales que $f(x)=O(g(x))$ como $x\to\infty$ es decir, existe $M>0$ y $x_0$ tal que $$f(x)\leq Mg(x)\qquad \forall x\geq x_0.$$ ¿Es cierto que $f'(x)=O(g'(x))$ como $x\to\infty$ ?

(esto es una extensión de esta pregunta )

Answer 1

No. Primero construimos una función $h:[-1,\infty)\rightarrow\mathbb{R}$ como sigue: Para los enteros $n \in \{-1, 0, 1, 2, ...\}$ queremos $h$ a ser: $$ h(n) = \frac{1}{(n+2)!} \quad \forall n \in \{-1, 0, 1, 2, ...\} $$ Estos valores son positivos y estrictamente decrecientes. Por lo tanto, podemos interpolarlos para obtener la función completa $h(x)$ que es diferenciable, positivo y satisface $h'(x)<0$ para todos $x \geq -1$ .

Definir $g:[-1,\infty)\rightarrow\mathbb{R}$ por $g(x) = \int_{-1}^{x} h(t)dt$ . Entonces $g'(x)=h(x)>0$ y $g''(x)=h'(x)<0$ para todos $x\geq -1$ . Así que $g$ es creciente, dos veces diferenciable y estrictamente cóncava.

Ahora defina $f:[0,\infty)\rightarrow\mathbb{R}$ por $f(x) = g(x-1)$ . Entonces $$ f(x) = g(x-1) \leq g(x) \quad \forall x \in [0,\infty)$$ Además, para los enteros $n \in \{1, 2, 3, ...\}$ nos encontramos con que: $$ \frac{f'(n)}{g'(n)} = \frac{g'(n-1)}{g'(n)} = \frac{1/(n+1)!}{1/(n+2)!}\rightarrow \infty $$ y así la conjetura $f'(x) = O(g'(x))$ no lo hace.