Utilice la fórmula de Cauchy para resolver $\int _0^{2\pi} \frac{dt}{a\cos t+ b\sin t +c} $ dado $\sqrt{(a^2+b^2)}=1<c$

Question

Utilice la fórmula de Cauchy para resolver $$\int _0^{2\pi} \frac{dt}{a \cos t+ b \sin t +c} $$ Dado $\sqrt{(a^2+b^2)}=1<c$ . Intenté una sustitución de variables, pero nada elegante. ¿Alguien puede resolverlo utilizando la fórmula de Cauchy?

Edición: hay soluciones más sencillas, pero el reto es resolverlo con un análisis complejo.

Answer 1

Una pista:

Con $z=e^{it}$ , $$\int\frac{dt}{a\cos t+b\sin t+c}=\oint\frac{2\,dz}{iz(a(z+z^{-1})-ib(z-z^{-1})+2c)}$$ y tienes dos bonitos palos.

Answer 2

Esto puede hacerse también sin la ayuda de los límites de integración.

Evaluar $$\int \frac{dt}{a \cos t+ b \sin t +c} $$ donde $\sqrt{(a^2+b^2)}=1<c$ .

No sé de qué fórmula de Cauchy estás hablando. Pero aquí hay una buena manera de hacerlo.

Desde $\sin t=\frac{2\tan(\frac x2)}{1+\tan^2(\frac x2)},\cos t=\frac{1-\tan^2(\frac x2)}{1+\tan^2(\frac x2)}$ Podemos escribirlo como (Puede detenerse y probarlo usted mismo en este punto) \begin{align*} &\Rightarrow\int \frac{\sec^2(\frac x2)dt}{a(1-\tan^2(\frac x2))+2b\tan(\frac x2)+c(1+\tan^2(\frac x2))}\\ &=\int\frac{2du}{a(1-u^2)+2bu+c(1+u^2)}\\ &=\frac2{c-a}\int\frac{du}{\left(u+\frac{b}{c-a}\right)^2+\frac{c+a}{c-a}-\frac{b^2}{(c-a)^2}}\\ &=\frac2{c-a}\int\frac{du}{\left(u+\frac{b}{c-a}\right)^2+\frac{c^2-(a^2+b^2)}{(c-a)^2}}\\ &=\frac2{c-a}\int\frac{du}{\left(u+\frac{b}{c-a}\right)^2+K^2}\\ &=\frac2{(c-a)K^2}\int\frac{du}{\left(\frac{u+\frac{b}{c-a}}{K}\right)^2+1}\\ \end{align*} ¿Puedes hacer la sustitución y terminarlo?

Answer 3

Aún así, puede ser conveniente integrarse de la siguiente manera,

\begin{align} & \int_0^{2\pi} \frac{dt}{a\cos t+ b\sin t +c}\\ =& \int_0^{2\pi} \frac{dt}{\sqrt{a^2+b^2}\cos (t-\theta) +c} = \int_0^{\pi} \frac{2dt}{\sqrt{a^2+b^2}\cos t +c}\\ = & \int_0^{\pi} \frac{2dt}{2\sqrt{a^2+b^2}\cos^2\frac t2+c-\sqrt{a^2+b^2}}\\ = & \int_0^{\pi} \frac{2\sec^2\frac t2 dt}{(c+ \sqrt{a^2+b^2} )+( c- \sqrt{a^2+b^2} )\tan^2\frac t2}\\ =& \frac{4}{\sqrt{c^2-a^2- b^2} }\tan^{-1} \left( \sqrt{\frac{c-\sqrt{a^2+b^2}}{c+\sqrt{a^2+b^2}} }\tan\frac t2 \right)_0^{\pi}\\ =& \frac{2\pi}{\sqrt{c^2-a^2-b^2} } \end{align}