¿Cuántos números de 5 cifras contienen todas las cifras 1,2,3,4,5 y tienen la propiedad de que cada par de cifras adyacentes tiene una diferencia de al menos 2?

Question

¿Cuántos números de 5 cifras contienen todas las cifras 1,2,3,4,5 y tienen la propiedad de que la diferencia entre cada par de cifras adyacentes es al menos 2?

$-$ Pregunta 22, División Junior AMC 2016

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Sé que podría hacerlo por el camino más largo, pero estoy buscando la forma de solucionarlo. Los posibles ejemplos son 53142, sin embargo, ¿hay una manera de encontrar la respuesta fácil y eficaz

P.D. Por favor, utilice métodos conocidos para los años 7, 8 y 9

Answer 1

Para encontrar rápidamente todas las posibilidades, considere $5$ casos:

$1. \ 3\, \_\, \_\, \_\, \_$

$2. \ \_\, 3\, \_\, \_\, \_$

$3. \ \_\, \_\, 3\, \_\, \_$

$4. \ \_\, \_\, \_\, 3\, \_$

$5. \ \_\, \_\, \_\, \_\, 3$

Explicación: $3$ es muy conveniente ya que sólo $1$ y $5$ puede estar al lado. Además, hay que tener en cuenta que si aplicamos $x\mapsto 6 - x$ a cada numeral, obtendremos una nueva solución a partir de la anterior; y por eso nos gusta $3$ se fija bajo este mapa. Entonces, ¿por qué consideramos esto? Porque, para cada uno de los casos anteriores, siempre habrá dos subcasos en los que $1$ y $5$ cambiar de lugar. Esto es exactamente lo que $x\mapsto 6-x$ lo hace.

Así, nuestros casos se convierten en

$1'. \ 3\, 1\, \_\, \_\, \_$

$2'. \ 5\, 3\, 1\, \_\, \_$

$3'. \ \_\, 5\, 3\, 1\, \_$

$4'. \ \_\, \_\, 1\, 3\, 5$

$5'. \ \_\, \_\, \_\, 1\, 3$

pero podemos ignorar los números $4.$ y $5.$ ya que no son más que imágenes especulares de $1.$ y $2.$ Si denotamos con $n_i$ el número de posibilidades en $i$ -caso, obtenemos el número total de $$n = n_1+n_2+n_3+n_4+n_5 = 2n_1 + 2n_2 + n_3 = 4n_1'+4n_2' + 2n_3'.$$

Ahora, a contar:

$1.'$ Desde $4$ y $5$ no puede estar al lado del otro, debemos tener $2$ sentado en el $4$ -en el lugar, es decir $3\, 1\, \_\, 2\, \_$ y tenemos dos posibilidades a partir de aquí: $3\, 1\, 4\, 2\, 5$ y $3\, 1\, 5\, 2\, 4$ . Así, $n_1' = 2$ .

$2.'$ y $3.'$ Obviamente, sólo hay una posibilidad en cada caso: $5\, 3\, 1\, 4\, 2$ y $2\, 5\, 3\, 1\, 4$ . Así, $n_2'=n_3' = 1$ .

Finalmente, $n = 4\cdot 2+4\cdot 1+2\cdot 1 = 14$ .

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Adenda: Puedes ignorar las cosas con $x\mapsto 6-x$ y simplemente escribirlo. Sin embargo, si tuviera un problema similar con $2k+1$ números, reduciría su trabajo a la mitad.

Answer 2

Hay $$5!=120$$ permutaciones de los números 1,2,3,4,5 - por lo que sabemos que la respuesta será menor que este número.

Hagamos una lista de soluciones viables que comienzan con el número 1:

• 1,3,5,2,4
• 1,4,2,5,3

Fíjate en que las condiciones que has indicado, constriñen la secuencia tanto hacia delante como hacia atrás. Observa también que la segunda secuencia es la inversa de la primera, partiendo de otra posición.

Puedes empezar en cualquiera de los números de la respuesta superior, y colocar todo lo que viene antes de tu ubicación inicial, después del final.

• 1,3,5,2,4
• 3,5,2,4,1
• 5,2,4,1,3
• 2,4,1,3,5
• 4,1,3,5,2 ...

Puede seleccionar 5 secuencias simplemente cambiando el lugar de inicio. También tiene la opción de leer las secuencias al revés, ya que los números de los puntos finales están separados por dos. Por lo tanto, $5\times 2 = 10$ secuencias.

También hay algunas secuencias que no pueden permutarse pero sí invertirse porque los números de los extremos están a menos de 2 de distancia. Esto ocurre porque los valores mayores y menores permitidos están en el centro de la secuencia.

• 2, 4, 1, 5, 3
• 3, 1, 5, 2, 4

añade estos 4 a tus 10 anteriores y habrás encontrado los 14

• 1: 1, 3, 5, 2, 4
• 2: 1, 4, 2, 5, 3
• 3: 2, 4, 1, 3, 5
• 4: 2, 4, 1, 5, 3
• 5: 2, 5, 3, 1, 4
• 6: 3, 1, 4, 2, 5
• 7: 3, 1, 5, 2, 4
• 8: 3, 5, 1, 4, 2
• 9: 3, 5, 2, 4, 1
• 10: 4, 1, 3, 5, 2
• 11: 4, 2, 5, 1, 3
• 12: 4, 2, 5, 3, 1
• 13: 5, 2, 4, 1, 3
• 14: 5, 3, 1, 4, 2

Answer 3

Tomar caso por caso para lo que es el número medio. Obsérvese que en todos los casos todos los números, excluyendo el número central, tendrán $2$ pares de números consecutivos, por ejemplo $1,3,4,5$ tiene pares $3,4$ y $4,5$ . Siendo así, una vez que se tiene un par consecutivo sólo hay un posicionamiento posible para el par restante, de modo que ningún otro consecutivo, por ejemplo, para $3,4,5,1$ y $4,5$ como par consecutivo debe ser $1,4,5,3$ .

$1$ o $5$ para el número central: $2$ los números adyacentes deben ser $3,4$ o $4,5$ ; $3,2$ o $2,1$ respectivamente, si fuera, por ejemplo $3,5$ entonces $3$ adyacente a ambos $2$ y $4$ y no funcionará. $2$ pares de números cada uno con $2$ pedidos es $2\times 2=4$ números posibles para cada uno de $1$ y $5$ como número central.

$2$ o $4$ para el número central: $2$ los números adyacentes deben ser $4,5$ o $1,2$ respectivamente. Así que $2$ números posibles para cada uno.

$3$ como número central: $2$ los números adyacentes deben ser $1,5$ . Entonces sólo un lugar para $2,4$ para ir una vez que se han fijado.

Así que $4+4+2+2+2=14$ números posibles.