He leído algunos libros sobre campos finitos, a veces el autor se refiere al campo finito $\mathbb{F}_p$ y a veces al grupo cíclico finito $\mathbb Z_p$ . ¿Cuál es la diferencia entre ellos?
Respuesta
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Jean-François Corbett
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A grandes rasgos, son el mismo conjunto pero con diferente énfasis.
Si hablamos del campo finito $\Bbb F_p$ , donde $p$ es un primo, esto se puede visualizar como los enteros $\{0,1,\ldots,p-1\}$ con las dos operaciones de adición módulo $p$ y la multiplicación en módulo $p$ . Puede comprobar que el axiomas de campo es cierto en este caso.
Si hablamos del grupo cíclico finito $\Bbb Z_p$ entonces seguimos visualizando los números $\{0,1,\ldots,p-1\}$ pero sólo estamos trabajando con una operación, que sería la suma módulo $p$ . Puede comprobar que el axiomas de grupo se satisfacen, y además que el grupo es cíclico .
Sin embargo, hay que tener en cuenta que esto sólo funciona si $p$ es primo. Un campo finito con $n$ elementos $\Bbb F_n$ existe si $n$ es una potencia de un primo, $n=p^\alpha$ pero si $\alpha>1$ entonces esto es no lo mismo que $\Bbb Z_n$ .
El grupo cíclico finito $\Bbb Z_n$ existe para todos los enteros positivos $n$ .
Ejemplos:
- El campo finito $\Bbb F_{31}$ y el grupo cíclico $\Bbb Z_{31}$ consisten en los mismos números: la única diferencia real es que en $\Bbb F_{31}$ consideramos los problemas que implican la multiplicación y en $\Bbb Z_{31}$ no lo hacemos.
- Existe un campo finito $\Bbb F_{32}$ y un grupo cíclico $\Bbb Z_{32}$ pero no son en absoluto lo mismo.
- Existe un grupo cíclico $\Bbb Z_{33}$ pero no hay ningún campo $\Bbb F_{33}$ porque $33$ no es una potencia de un primo.
