Prueba de la fórmula de inversión de Lagrange

Question

Possible Duplicate:
Demostración del teorema que conecta el inverso de una función holomorfa con una integral de contorno de la función.

Vi este teorema en algunas notas de clase, pero no he podido encontrar una prueba.

Sea $f:\Omega \to \Bbb C$ holomorfa con $f(0)=0 $ y $f'(0)\neq0$. Supongamos que $U \subset \Omega$ es un vecindario suficientemente pequeño de $0$ para que $f$ tenga un inverso holomorfo en $U$. Elija $r>0$ lo suficientemente pequeño para que $\bar B(0,r) \subset U$, y además sea $\omega \in f(B(0,r))$. Entonces se cumple la siguiente fórmula:

$$ f^{-1}(\omega) = \frac{1}{2\pi i} \oint_{|z|=r}\ \frac{f'(z)z}{f(z)-\omega}\, dz $$

Se agradecería mucho una prueba o un enlace a una prueba.

Answer 1

La prueba de $$f^{-1}(\omega) = \frac{1}{2\pi i} \oint_{|z|=r}\ \frac{z\, f'(z)}{f(z)-\omega}\, dz \tag{1}$$ es un cálculo sencillo con la fórmula de residuos. El único polo de la función integranda está en el punto $\zeta=f^{-1}(\omega)$, y este polo es simple. La residuo en $z=\zeta$ es $\frac{\zeta f'(\zeta)}{f'(\zeta)}=\zeta$, y el resultado sigue.

Seguramente vi (1) en algún lugar, pero no tengo una referencia. Se puede generalizar a mapeos en $\mathbb{R}^n$ usando la teoría de grados.