Mostrar $f^{-1}(\bigcup_{B_i\in B}B_i) = \bigcup f^{-1}(B_i)$ ¿prueba realizada correctamente?

Question

Mostrar $f^{-1}(\bigcup_{B_i\in B}B_i) = \bigcup f^{-1}(B_i)$

Attmept: Usé la inducción:

Sabemos que es cierto para $i = 1$ donde $i\in \mathbb N$ Confirmar para $i = 2$ : $f^{-1}(B_1\cup B_2) = f^{-1}(B_1) \cup f^{-1}(B_2)$

Supongamos que es cierto para $i = k$ , donde $k \ge 2$ : $$\implies f^{-1}(\bigcup B_k) = \bigcup f^{-1}(B_k)$$

Ahora para $i = k+1$ :

$$f^{-1}(\bigcup B_{k+1}) = f^{-1}(\bigcup B_k \cup B_{k+1})$$ por el primer paso de inducción de $i = 2$ :

$$\implies f^{-1}(\bigcup B_k) \cup f^{-1}(B_{k+1}) = \bigcup f^{-1}(B_{k+1})$$

hecho. o QED porque me siento bien con esto.

¿Hecho correctamente?

Answer 1

No es una respuesta, pero es demasiado larga para un comentario:

Supongamos: $$x\in f^{-1}(\bigcup_{B_i\in B}B_i)$$ Entonces: $$f(x)\in \bigcup_{B_i\in B}B_i$$ Así que hay algo de $A \in B$ tal que $f(x) \in A$ Por lo tanto $x \in f^{-1}(A) \subset \bigcup_{B_i\in B} f^{-1}(B_i)$ .
Ahora supongamos: $$x\in \bigcup_{B_i\in B} f^{-1}(B_i)$$ Entonces, hay algo de $A \in B$ tal que $$x \in f^{-1}(A)$$ Y como $$A \subset \bigcup_{B_i\in B}B_i$$ Nosotros tenemos: $$f^{-1}(A) \subset f^{-1}(\bigcup_{B_i\in B}B_i) $$ Por lo tanto: $$x \in f^{-1}(\bigcup_{B_i\in B}B_i) $$ Como nota al margen, la horrenda notación $B_i\in B$ es casi seguro que causará confusión.