Torsión P de las curvas elípticas

Question

Supongamos que tengo una curva elíptica ordinaria $E$ en $\overline{\mathbb{F}}_p$ . Entonces su $p$ -torsión $E[p]$ es un esquema de grupo plano finito de orden $p^2$ . Tengo entendido que tiene $p+1$ subgrupos de orden $p$ y hay uno "especial", el subgrupo canónico que es la componente conectada de la identidad en $E[p]$ .

He leído que si $C$ a $p$ -subgrupo que es no canónico entonces el subgrupo canónico de $E / C$ es $E[p] / C$ . Sin embargo, supongamos que tengo dos distintos no canónicos $p$ -subgrupos $C_1, C_2$ . Así que $C_1$ tiene una intersección trivial con $C_2$ y por lo tanto el mapa $$C_1 \hookrightarrow E[p] \twoheadrightarrow E[p]/C_2 $$ tiene un núcleo trivial. ¿Entonces no significa que es un isomorfismo? Claramente esto no puede ser cierto ya que $C_1$ es etale y $E[p]/C_2$ es multiplicativo, pero ¿qué pasa?

Answer 1

Como menciona Ari Shnidman en los comentarios, una curva elíptica ordinaria sólo tendrá $2$ subgrupos de orden $p$ en $\overline{\mathbf{F}}_p$ . También hay una manifestación geométrica de este hecho: el mapa $\pi: X_0(p) \rightarrow X$ tiene grado $p+1$ pero la fibra especial de $X_0(p)$ consiste en dos copias de $X$ que se encuentran transversalmente en los puntos supersingulares. Los mapas de proyección correspondientes tienen grado $1$ y $p$ respectivamente, siendo este último mapa puramente inseparable. Por ello, el número de geometrías (sobre $\overline{\mathbf{F}}_p$ ) en la preimagen es simplemente $2$ en lugar de $p+1$ (que es lo que ocurre con $\overline{\mathbf{Q}}_p$ por ejemplo). De hecho, esto era conocido por Kronecker; si se toma la ecuación modular clásica $\Phi(x,y)$ en relación con $j(\tau)$ y $j(p \tau)$ entonces $\Phi(x,y)$ ofrece un modelo para $X_0(p)$ pero existe la congruencia de Kronecker

$$\Phi(x,y) \equiv (x^p - y)(y^p - x) \mod p,$$

en la que se manifiestan las afirmaciones geométricas anteriores. (Es pertinente para esta historia la definición geométrica del operador de Hecke en $p$ Probablemente Diamond y Sherman hablen de todo esto en detalle).