Cálculo de $ \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n-3}{n}\right)^n $

Question

Al calcular el siguiente límite:

$$ \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n-3}{n}\right)^n $$

He utilizado el siguiente procedimiento:

\begin{align} \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n-3}{n}\right)^n = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{\frac{1}{n}\cdot(n-3)}{\frac{1}{n}\cdot n}\right)^n = \lim_{n \to \infty} \left(1-\frac{3}{n}\right)^n = \\= \lim_{n \to \infty} \left(1-\frac{3}{\infty}\right)^\infty = \lim_{n \to \infty} \left(1-\frac{3}{\infty}\right)^\infty = \lim_{n \to \infty} (1)^\infty = 1\\ \end{align}

Soy consciente de que la solución es $ e^{-3} $ pero me gustaría saber que reglas estoy rompiendo en mi proceso para que la respuesta sea incorrecta. Sospecho de los dos últimos pasos. Creo que asumir que $ 3/\infty $ tiende a 0 cuando $ n $ se acerca a $ \infty $ está bien y el resultado se acercaría a 1 sin la potencia. Pero en este caso, la potencia hace que el resultado se acerque a $ 0.05 $ en su lugar.

Answer 1

A partir de este paso

$$\ldots=\lim_{n \to \infty} \left(1-\frac{3}{n}\right)^n =\ldots$$

no podemos "enchufar" $\infty$ para resolver ya que $1^\infty$ es una forma indeterminada.

Podemos utilizar

$$\left(1-\frac{3}{n}\right)^n=\left[\left(1+\frac{(-3)}{n}\right)^{\frac n{(-3)}}\right]^{-3}$$

y concluir por el límite estándar

$$\lim_{x \to \pm\infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e $$

Answer 2

A medida que avanza,

$$\lim_{n \to \infty} (1-\frac{3}{n})^n =\lim_{n \to \infty} e^{n \ln(1-\frac{3}{n})} =\lim_{n \to \infty} e^{\frac{ \ln(1-\frac{3}{n})}{1/n}} =e^{\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{3}{n^2}}{\frac{-1}{n^2} (1-\frac{3}{n})}} ( \text{by L'hospital rule}) $$

Así que, $$\lim_{n \to \infty} (1-\frac{3}{n})^n = e^{-3} $$

Answer 3

Una de las muchas formas $$a_n=\left(\frac{n-3}{n}\right)^n=\left(1-\frac{3}{n}\right)^n\implies \log(a_n)=n\log\left(1-\frac{3}{n}\right)$$ Ahora, usando Taylor $$\log(1+\epsilon)=\epsilon -\frac{\epsilon ^2}{2}+O\left(\epsilon ^3\right)$$ $$\log\left(1-\frac{3}{n}\right)=-\frac{3}{n}-\frac{9}{2 n^2}+O\left(\frac{1}{n^3}\right)$$ $$\log(a_n)=-3-\frac{9}{2 n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)$$ $$a_n=e^{\log(a_n)}=\frac{1}{e^3}-\frac{9}{2 e^3 n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)$$ muestra el límite y la forma de abordarlo.