Transformaciones de coordenadas y conformes de la métrica FRW

Question

Estoy considerando una métrica de la siguiente forma, $$ds^2 = \left[F(r,t)-G(r,t)\right]dt^2 - \left[F(r,t)+G(r,t)\right]dr^2 - r^2d\Omega^2$$

con firma $(1,3)$ , donde $F(r,t)$ y $G(r,t)$ son funciones escalares arbitrarias y $d\Omega^2$ el elemento de línea en la esfera unitaria.

Estoy tratando de encontrar una transformación de coordenadas y/o conforme a una de las formas "estándar" de Robertson-Walker, por ejemplo

$$ds^2 = dT^2 - \frac{a(T)^2}{1-kR^2}dR^2 - R^2 d\Omega^2$$

para cualquier $k=0,-1,+1$ o demostrar que no existe.

Answer 1

Entonces, ¿qué ocurre si se intenta resolver directamente, escribiendo:

$$ F(r,t) - G(r,t) = 1 $$

y

$$ F(r,t) + G(r,t) = \frac{a(t)^{2}}{1-kr^{2}}$$

Pista: puedes resolver esto ya que es un sistema de ecuaciones lineales en $F$ y $G$ ...

Answer 2

Comienza con la métrica FRLW. Haz una redefinición $r = f(\tau, R)$ y $t = g(\tau,R)$ . Luego, haz la transformación de coordenadas. Tendrás un sistema de tres EDP:

$g_{\tau \tau} = F - G$

$g_{\tau R} = 0$

y

$g_{R R} = F + G$

que dependerá de $f$ y $g$ y sus derivados. El conjunto de los $F$ y $G$ donde puede encontrar un $f$ y $g$ que resuelven estas ecuaciones es el conjunto de respuestas que tienes. El resto tendrás que hacerlo tú mismo.