Si $f\tau$ es continua para cada ruta de $\tau$ $X$ $f:X\rightarrow Y$ continua?

Question

Deje $X$ ser una ruta de acceso conectado espacio y $Y$ ser un espacio topológico. Deje $f:X\rightarrow Y$ ser una función tal que para cada ruta $\tau:\mathbb{I}\rightarrow X$ , $f\tau:\mathbb{I}\rightarrow Y$ es continua.

De lo anterior se sigue que el $f$ es continua ?

Gracias

Answer 1

No, no siga. Vamos

$$X = \{0\} \times [0,1] \cup [0,1]\times \{1\} \cup \bigcup_{n=1}^\infty L_n,$$

donde $L_n = \left\{(x,nx) : \frac{1}{n^2} \leqslant x \leqslant \frac{1}{n}\right\}$, con el subespacio de la topología inducida por $\mathbb{R}^2$. Deje $f \colon X \to \mathbb{R}$ ser dada por

$$\begin{align} f(0,y) &= y\\ f(x,1) &= 1+x\\ f(x,nx) &= 1 + \frac{1}{n} + (1-nx). \end{align}$$

A continuación, $f$ no es continua en a $(0,0)$, ya que el $f\left(\frac{1}{n^2},\frac{1}{n}\right) = 2$ todos los $n \geqslant 1$, pero $f$ es continua en todos los otros puntos. Ya que cada camino que pasa a través de $(0,0)$$Y$, debe recaer en el segmento de $\{0\}\times [0,1]$ en un barrio de todos los $t$ con $\tau(t) = (0,0)$, $f\circ \tau$ es continua para todos los caminos.

Sin embargo, como Ted Shifrin notas en un comentario, si $X$ es localmente trayectoria-conectado y la primera contables, a continuación, la continuidad de $f\circ\tau$ para todas las rutas de $\tau \colon \mathbb{I} \to X$ implica la continuidad de la $f$.