Si un grupo G es isomorfo a H, demuestre que Aut(G) es isomorfo a Aut(H)

Question

Si un grupo G es isomorfo a H, demuestre que Aut(G) es isomorfo a Aut(H)

Propiedades de los isomorfismos que actúan sobre grupos:

Supongamos que $\phi$ es un isomorfismo de un grupo G sobre un grupo H, entonces
1. $\phi^{-1}$ es un isomorfismo de H sobre G.
2. G es abeliano si y sólo si H es abeliano
3. G es cíclico si y sólo si H es cíclico.
4. Si K es un subgrupo de G, el $\phi$ (K)={ $\phi$ (k)|k $\in$ K} es un subgrupo de H.
5. Si L es un subgrupo de H, entonces $\phi^{-1}$ L={g $\in$ G| $\phi$ (g) $\in$ L} es un subgrupo de G.
6. $\phi$ (Z(G))=Z(H)

Pasos para demostrar que G es isomorfo a H:

1. Definir una función $\phi$ de G a H
2. Demostrar que $\phi$ es uno a uno
3. Demostrar que $\phi$ está en
4. Demuestra que $\phi (ab)=\phi (a)\phi (b)$ para todos $a,b\in G$

Prueba:

Supongamos que $\phi:G\rightarrow H$ es un isomorfismo.

Como G es un grupo, tiene elementos $a,b\in G$ tal que $ab\in G$ . $\space \space$ H también es un grupo. $\space \space$ Por lo tanto, $\phi(a)=x\in H$ , $\phi(b)=y\in H$ y $\phi(a)\phi(b)=\phi(ab)=xy\in H$ . Así, $\phi$ es uno a uno y preserva la operación.
Para cualquier elemento $h\in H$ Hay un $g\in G$ tal que $\phi(g)=h$ Así que $\phi$ está en.
El isomorfismo tiene una operación inversa $\phi^{-1}:H\rightarrow G$ tal que $\phi^{-1}(h)=g\in G$ .
De la misma manera, $\psi(a)=r\in G$ , $\psi(b)=s\in G$ y $\psi(a)\psi(b)=\psi(ab)=rs\in G$ . Así, $\psi$ es uno a uno y preserva la operación.
Para cualquier elemento $\bar g\in G$ Hay un $g\in G$ tal que $\psi(g)=\bar g$ Así que $\psi$ está en. $\space \space$ Así que $\psi$ es un automorfismo en G.
El automorfismo $\theta(\psi):H\rightarrow H$ se define por $\theta(\psi)=\phi\psi\phi^{1}$ y es un isomorfismo.

Answer 1

Supongamos que $\phi:G\rightarrow H$ es un isomorfismo de grupos.

Considere $\theta:\text{Aut}(G)\rightarrow\text{Aut}(H)$ definida de la siguiente manera: que $\psi\in\text{Aut}(G)$ entonces $\theta(\psi)=\phi\circ\psi\circ\phi^{-1}$ .

Ahora, debes mostrar lo siguiente:

$1$ ) $\theta(\psi)\in\text{Aut}(H)$ . Esto es fácil porque la composición de isomorfismos es un isomorfismo y los dominios y codominios coinciden.

$2$ ) $\theta$ es un homomorfismo. La multiplicación en el grupo de los automorfismos es por composición de funciones. Entonces, sea $\psi_1,\psi_2\in\text{Aut}(G)$ . Entonces $\theta(\psi_1\circ\psi_2)=\phi\circ\psi_1\circ\psi_2\circ\phi^{-1}=\phi\circ\psi_1\circ\phi^{-1}\circ\phi\circ\psi_2\circ\phi^{-1}=\theta(\psi_1)\circ\theta(\psi_2)$ desde $\psi^{-1}\circ\psi$ es la identidad.

$3$ ) $\theta$ es biyectiva. En este caso, lo más fácil es definir un mapa inverso, $\theta^{-1}\text{Aut}(H)\rightarrow\text{Aut}(G)$ . Lo dejaré en sus manos, pero la definición es similar a la de $\theta$ .

Answer 2

Usted está tratando de demostrar que $\phi: G \to H$ y $\psi: G \to G$ son isomorfismos, mientras que tú estás asumiendo esto. Su última línea es lo que realmente necesidad de demostrar es decir, que $$ \begin{align} \theta : \text{Aut}(G) &\to \text{Aut}(H) \\ \psi &\mapsto \phi \circ \psi \circ \phi^{-1} \end{align} $$ es un isomorfismo de grupos. Para ello, primero tenemos que demostrar que $\theta$ está bien definida, es decir, que su imagen está efectivamente contenida en $\text{Aut}(H)$ pero esto es claramente cierto porque $\theta(\psi): H \to H$ es una composición de morfismos de grupos invertibles.

Sin embargo, en lugar de demostrar explícitamente la inyectabilidad y la subjetividad, se podría demostrar simplemente que $$ \begin{align} \gamma : \text{Aut}(H) &\to \text{Aut}(G) \\ \varphi &\mapsto \phi^{-1} \circ \varphi \circ \phi \end{align} $$ es un inverso para $\theta$ es decir, que $\gamma \circ \theta = \text{id}_{\text{Aut}(G))}$ y $\theta \circ \gamma = \text{id}_{\text{Aut}(H))}$ . Entonces todo lo que necesitas probar es que $\theta(\psi_1 \circ \psi_2) = \theta(\psi_1) \circ \theta(\psi_2)$ pero esto es casi inmediato.