$$I = \int_{-1}^{1}e^{xt^3}dt$$ No estoy seguro de cómo empezar este problema. La pregunta pide una aproximación de orden principal como $x \to \infty$ y utilizar la integración por partes. ¿Debo sustituir la suma por la integral? ¿Utilizar funciones gamma tal vez? No estoy seguro. He encontrado que $$e^{xt^3}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(xt^3)^n}{n!}$$ Pero no estoy seguro de qué hacer a partir de aquí. Se agradece cualquier ayuda.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Roger Hoover
Puntos
56
$e^{xt^3}$ es creciente y positivo en $t\in(-1,1)$ por lo que el comportamiento asintótico para grandes $x$ viene dada por
$$ O(1)+\int_{0}^{1}e^{xt^3}\,dt = O(1)+\frac{1}{3}\int_{0}^{1}t^{-2/3} e^{xt}\,dt = O(1)+\frac{e^x}{3x} \int_{0}^{1} (1-t)^{-2/3} x e^{-tx}\,dx $$ Ahora $(1-t)^{-2/3}$ es un positivo $L^1(0,1)$ función, continua y acotada en una vecindad derecha del origen. $x e^{-tx}$ es un positivo $L^1(\mathbb{R}^+)$ con integral unitaria, que converge a $\delta(x)$ en la distribución. De ello se desprende que para grandes $x$ la integral dada se comporta como $$ \frac{e^{x}}{3x}\lim_{t\to 0}(1-t)^{-2/3} = \color{red}{\frac{e^x}{3x}}.$$
A continuación se muestra un gráfico (en la gama $[1,25]$ ) de $\int_{-1}^{1} e^{xt^3}\, dt$ y $\frac{e^{x}}{3x}$ calculado en Mathematica :
Aquí es una parcela de $\log\int_{-1}^{1}e^{xt^3}\,dx$ (azul) y $\log\left(\frac{e^x}{3x}\right)$ (púrpura) en el mismo intervalo:
$\hspace2in$
