Grupo central y ruptura de la simetría

Question

En primer lugar, expondré la definición de centro, $i.e$ el centro del grupo $C_G$ se define como la parte de $G$ que conmuta con todos los generadores.

Quiero conocer el procedimiento de ruptura de los grupos gauge. Algunos de los libros de texto relacionados con las teorías gauge de celosía hablan demasiado sobre el grupo central y su papel de romper el grupo gauge.

Quiero saber cómo están relacionados. Explicar con algunos ejemplos también me ayuda mucho.

Answer 1

Empezaré describiendo el caso más conocido de ruptura de la simetría central:

El centro del grupo gauge es significativo en las teorías gauge de celosía porque el valor de la expectativa del bucle de Polyakov sólo es invariante bajo una transformación central si es cero.

Por lo tanto, aunque la acción de la red es invariante bajo una transformación central, esta simetría se rompe cuando el valor de la expectativa del bucle de Polyakov es distinto de cero, convirtiéndolo en un parámetro de orden para una transición de fase.

Heurísticamente, el bucle de Polyakov representa $\exp(-F/T)$ , donde $F$ es la energía libre de un solo quark estático. Si es cero, significa que la energía libre es infinita, lo que implica que no hay quarks individuales y estáticos, es decir, que la teoría es confinante. Si es distinto de cero, la teoría es desconfinada.

Ahora, a la pregunta más general de cómo surge la simetría del centro y qué es:

En una teoría gauge euclidiana (de celosía) a temperatura finita, el campo gauge $A$ debe obedecer a condiciones de contorno periódicas en la dirección del tiempo euclidiano, es decir $$ A(t + \beta,\vec x) = A(t,\vec x)$$ y obviamente, las transformaciones gauge $g(t,x)$ con $$ g(t + \beta,\vec x) = g(t,\vec x)$$ preservan esta condición de contorno y dejan invariante la acción gauge. Sin embargo, también se puede tener $$ g(t + \beta,\vec x) = Zg(t,\vec x)$$ para algún elemento $Z$ del grupo gauge $\mathrm{SU}(N)$ . El campo gauge se transforma bajo esto de manera que $$ A(t + \beta,\vec x) = ZA(t,\vec x)Z^\dagger$$ para que se cumplan las condiciones de contorno. Por lo tanto, la transformación gauge está permitida para $Z$ de la centro $\mathbb{Z}_N$ del grupo gauge, ya que entonces $Z$ y $Z^\dagger$ viajar con todos los posibles $A$ y $ZZ^\dagger = 1$ da la condición de contorno correcta. La acción gauge es invariante bajo tales transformaciones centrales.

Sin embargo, el bucle de Polyakov no lo es. Es invariante bajo transformaciones que respetan adecuadamente las condiciones de contorno, pero no bajo las centrales. Por lo tanto, un valor de expectativa distinto de cero para el bucle de Polyakov rompe esta simetría central, pero no la simetría gauge como tal. La adición de quarks dinámicos en la acción rompe explícitamente la simetría central porque la condición de contorno para los quarks no puede ser mantenida por las transformaciones centrales.

Las fases $Z$ que se producen aquí son análogas a las fases de Aharonov-Bohm/los bucles de Wilson no triviales que se dan en los espaciotiempos topológicamente no triviales: la teoría euclidiana es "como un toro" debido a las condiciones periódicas de contorno y, por tanto, topológicamente no triviales.