Una pregunta sobre los noeteros $R$ -módulo.

Question

Dejemos que $M$ sea noetheriano $R$ -módulo(donde $R$ contiene $1$ ) y $\phi:M \to M$ sea $R$ -homomorfismo de módulo . Supongamos que $\phi$ es sobreyectiva, ¿cómo puedo demostrar que $\phi$ es inyectiva?

Las sugerencias serán suficientes, gracias.

Answer 1

Una pista: $\ker \phi\subseteq \ker \phi^2\subseteq \dotsb$ es una cadena ascendente.

Answer 2

Por la noeterianidad tenemos $\ker(\phi^n) = \ker(\phi^{n+1})$ para algunos $n$ .

$\phi$ es suryente, por lo que $\phi^n$ es suryente; supongamos que $v \in \ker(\phi)$ Así que $\exists \ w$ tal que $$v= \phi^n(w) \Rightarrow 0 = \phi(v) = \phi^{n+1}(w) \Rightarrow w \in \ker(\phi^{n+1})$$ Pero $\ker(\phi^n) = \ker(\phi^{n+1})$ y así $$v= \phi^n(w) = 0 \Rightarrow \ker(\phi) = 0$$ Entonces $\phi$ es inyectiva