Diferenciar la función: $y=\sqrt{x^x}$

Question

$y=\sqrt{x^x}$

¿Cómo puedo convertir esto en una forma que sea viable y qué indica que debo hacerlo?

De todos modos, he probado este método de registrar ambos lados de la ecuación pero no sé si estoy en lo cierto.

$\ln\ y=\sqrt{x} \ln\ x$

$\frac{dy}{dx}\cdot \frac{1}{y}=\sqrt{x}\ \frac{1}{x} +\ln\ x\ \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$

$\sqrt{x}\cdot (\sqrt{x}\ \frac{1}{x} +\ln\ x \ \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}})$

Answer 1

Has cometido algunos errores simples, sobre todo, te has equivocado en el registro:

$$\ln y = \frac12 x \ln x$$

Diferenciando entonces da:

$$\frac{y'}{y}=\frac12\ln x+\frac12$$

Y por lo tanto:

$$y'=y\left(\frac12\ln x +\frac12\right)=\frac12\sqrt{x^x}\left(\ln x+1\right)$$