Diferenciar la función: $y=\sqrt{x^x}$

Question

$y=\sqrt{x^x}$

¿Cómo puedo convertir esto en una forma que sea viable y qué indica que debo hacerlo?

De todos modos, he probado este método de registrar ambos lados de la ecuación pero no sé si estoy en lo cierto.

$\ln\ y=\sqrt{x} \ln\ x$

$\frac{dy}{dx}\cdot \frac{1}{y}=\sqrt{x}\ \frac{1}{x} +\ln\ x\ \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$

$\sqrt{x}\cdot (\sqrt{x}\ \frac{1}{x} +\ln\ x \ \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}})$

Answer 1

Esa forma podría funcionar aunque cometiste algunos errores, pero una forma más fácil cambia la raíz cuadrada a un exponente fraccionario.

$$\begin{align} y&=\sqrt{x^x} \\[2ex] &= \left(x^x\right)^{1/2} \\[2ex] &= x^{x/2} \\[2ex] \ln y&= \ln x^{x/2} \\[2ex] &= \frac x2\ln x \\[2ex] \frac{dy}{dx}\frac 1y &=\frac 12\ln x+\frac x2\frac 1x \\[2ex] &= \frac 12\ln x+\frac 12 \\[2ex] \frac{dy}{dx} &= y\left(\frac 12\ln x+\frac 12 \right) \\[2ex] &= \sqrt{x^x}\left(\frac 12\ln x+\frac 12 \right) \\[2ex] &= \frac 12\sqrt{x^x}\left(\ln x+1 \right) \end{align}$$

Answer 2

Una pista:

Todas las funciones del tipo $u^v$ se definen con: $$u^v=\mathrm e^{v\ln u}.\enspace\text{Here:}\quad \sqrt{x^x}=\mathrm e^{\frac12 x\ln x}.$$

Answer 3

Cuadra ambos lados:

$$y^{2}=x^{x}$$ Entonces, al diferenciar $$2y y' = (1+\ln x)x^{x}$$ De la cual $$y'=\frac{1}{2y}(1+\ln x)x^{x} \qquad (x \neq 0)$$ Dando $$y' = \frac{1}{2\sqrt{x^{x}}}(1+\ln x)x^{x} $$ Así, $$y'=\frac{1}{2}(1+\ln x)\sqrt{x^{x}}$$

Answer 4

Hay un par de cosas que no son del todo correctas, además tomar el logaritmo podría no ser la mejor opción (pero parece que se supone que debes hacerlo).

• Nota $\ln \sqrt{u}= \frac{1}{2} \ln u$ Así que su primera línea es incorrecta.

• En el segundo se le cayó un $x$ después de la $\ln$ .

• En la tercera tomaste mal $\sqrt{x}$ para $y$ .

Answer 5

Dejar $f(x)=\sqrt{x^x}$ entonces obtenemos $\ln(f(x))=\frac{1}{2}\ln(x^x)=\frac{1}{2}x\ln(x)$ y después de esto tenemos $$\frac{1}{f}f'(x)=\frac{1}{2}\ln(x)+\frac{1}{2}$$