Supongamos que tenemos un $n$ -de las dimensiones de la colmena $S$ (con un sistema de coordenadas global) con una métrica $g$ y una conexión $\nabla$ con coeficientes de conexión (símbolos de Christoffel) $\Gamma_{i,j}^k$ dado. Supongamos que el $\nabla$ -La geodésica que conecta dos puntos cualesquiera de la variedad está completamente en $S$ . ¿Podemos decir entonces que $S$ debe ser plana con respecto a la conexión dada? No soy capaz de demostrar directamente que $(\Gamma_{i,j}^k)_p = 0$ en todos los puntos $p$ de $S$ .
Respuesta
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Creo que no estás entendiendo lo que es una conexión plana (afín): es una conexión sobre un colector $M$ tal que en cada punto de $M$ existe un sistema de coordenadas con cero símbolos de Christoffel (la desaparición depende en gran medida de las coordenadas que se utilicen). Equivalentemente, una conexión es plana si tiene curvatura cero. Equivalentemente, es plana si los transportes paralelos a lo largo de bucles contraíbles son mapas de identidad, etc. Esto se explica en cualquier libro de texto de geometría riemanniana; mi favorito es "Riemannian Geometry" de Carmo (capítulos 0 a 4). O utilice "Riemannian Geometry" de Petersen.
