Paquete tangente del colector de productos

Question

Supongamos que $M,N$ son colectores, y considerar el producto $M\times N$ . Desde esta respuesta Lo sé:

$T_{(m,n)}(M \times N) \cong T_m M \oplus T_n N $

¿Podemos concluir que $T(M\times N) \cong T(M) \oplus T(N)$

Answer 1

Déjalo, $M \subset \Bbb R^m , N \subset \Bbb R^n$ (es decir, considerados como subconjuntos de los espacios euclidianos de dimensiones respectivas para empezar)

$$T(M \times N)=\{((x,y),(v,w))\in M \times N \times \Bbb R^{n+m}: (v,w)\in T_{(x,y)}(M \times N)\}$$$$=\{(x,y,v,w)\in M \times N \times \Bbb R^{n+m}: (v,w)\in T_{(x,y)}(M \times N)\} \dots (*)$$ $$and$$ $$TM \oplus TN=\{(x,v,y,w)\in M \times \Bbb R^m \times N \times \Bbb R^n : v \in T_xM,w\in T_y N\}$$

Obsérvese que podemos escribir $(*)$ debido a la identificación de $T_{(x,y)}(M \times N)=T_x M \oplus T_yN$

Dejemos claras nuestras intenciones, queremos "sólo cambiar $y$ y $v$ " .

Ahora toma conjuntos abiertos $U,V$ en $\Bbb R^m,\Bbb R^n$ (respectivamente) que contienen $x \in X$ y $y \in Y$ respectivamente.Tenga en cuenta que $U \times V$ es de nuevo un conjunto abierto en $\Bbb R^{m+n}$ . Entonces mira el "mapa de conmutación" aquí, es decir $$\phi: T(U \times V) \to T(U) \times T(V)$$ $$(x,y,v,w) \to (x,v,y,w)$$

De nuevo, tenga en cuenta que, $T(U \times V)=U \times V \times \Bbb R^{n+m}$ y $T(U) \times T(V)= U \times \Bbb R^n \times V \times \Bbb R^m$ De ahí que el cambio aquí haga perfecto sentido y, de hecho, ¡un difeomorfismo! ( Ya que no hay un dilema local!)

De ahí que este mapa $\phi$ amplía el "mapa de conmutación" localmente y, por lo tanto $\tilde{\phi}: T(M \times N) \to T(M) \times T(N)$ definido por, $(x,y,v,w) \mapsto (x,v,y,w)$ es un difeomorfismo local. Está claro que es una biyección. Por tanto, biyección + difeomorfismo local $\implies$ que $\tilde{\phi}$ define un difeomorfismo de $T(M \times N) \to T(M) \times T(N)$