¿Existe un contraejemplo a la afirmación de que si $\mathbf y\cdot\mathbf y=1$ y $\mathbf x\cdot\mathbf y=c$ entonces $\mathbf x=c\mathbf y$ ?

Question

Dejemos que $x,y$ sean vectores arbitrarios donde $\mathbf{y} \cdot \mathbf{y} = 1$ y $c$ sea un escalar de valor real. Si

$\mathbf{x} \cdot \mathbf{y} = c = c (\mathbf{y} \cdot \mathbf{y} ) = (c \mathbf{y} ) \cdot \mathbf{y} $ entonces

$\mathbf{x} = c \mathbf{y}$

¿Es esto cierto? Parece una conclusión chapucera, ¿no?

Answer 1

$\mathbf{x} = c \mathbf{y} + $ algún vector perpendicular a $\mathbf{y}$

Answer 2

$x=(17,1)$ , $y=(0,1)$ . ${}{}{}{}$

Answer 3

Ahora que tenemos contraejemplos, veamos dónde está el fallo en el razonamiento.

Cuando dices $x \cdot y = c y \cdot y$ no se puede "eliminar" lo común $y$ porque eso requeriría la invertibilidad del producto punto. Por sí mismo, el producto punto es no invertible, y no se puede reconstruir $x$ sin información adicional: en particular, información del producto cruzado.

Dado un vector $x$ y un vector unitario $y$ , se puede descomponer $x$ como

$$x = (x \cdot y) y + y \times (x \times y) = x_\parallel + x_\perp$$

Con la información que tiene, sabe que $x_\parallel = cy$ pero no sabes $x \times y$ y por eso, no sabes $x_\perp$ . Si usted conocía que $x \times y =0$ entonces $x = x_\parallel$ y sabrás que has terminado.