¿Integral de divergencia igual a divergencia de integral?

Question

Tal y como reza el epígrafe... ¿la integral de la divergencia de un campo vectorial es igual a la divergencia de la integral de un campo vectorial?

$\int\nabla\cdot\vec U dz = 0$

lo mismo que

$\frac\partial\partial_x \int u(x,y,z) dz +\frac\partial\partial_y \int v(x,y,z) dz +\frac\partial\partial_z \int w(x,y,z) dz =0$

¿Esta afirmación es cierta? La integral es arbitraria y se puede tomar sobre cualquier coordenada. Básicamente tengo que integrar la divergencia de un campo vectorial y no estoy seguro si puedo simplemente mover el operador de divergencia fuera de la integral?

O debería decir:

$\int \frac\partial\partial_x u(x,y,z) dz + \int \frac\partial\partial_y v(x,y,z) dz + \int \frac\partial\partial_z w(x,y,z) dz =0$

EDIT: He intentado aclararlo con un ejemplo. Los límites de integración cubren todo el ámbito de la coordenada z que está acotado desde digamos A hasta B.

Answer 1

Para términos como $\frac{\partial}{\partial x} \int u(x,y,z) \mathrm dz$ se puede aplicar la regla integral de Leibniz, ver https://en.wikipedia.org/wiki/Leibniz_integral_rule .