trigonometría con parametrizaciones alternativas del círculo

Question

En trigonometría es convencional cuando se define $\cos\theta$ , $\sin\theta$ etc., para parametrizar el círculo por la longitud de arco  $\theta$ . Algunas identidades trigonométricas no dependen en absoluto de la parametrización del círculo que se utilice, por ejemplo $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ . Para otros, la elección de la parametrización es crucial, por ejemplo $\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$ . Para mí es increíble cómo MUCHO se desprende de las identidades simples que se enseñan a los 15 años, cosas como este y este y este y este y si quieres algo más sofisticado, este artículo que lleva un nombre famoso . Según el estereotipo actual, el término "identidad trigonométrica" connota algo más bien humilde, pero fíjese en el último punto.

En una pregunta anterior He preguntado por el papel de la suma y la resta. Pero ahora voy a plantear una pregunta diferente:

¿Hay algo similar en la elaboración de (la variedad de diferentes tipos de identidades, algunas simples; otras más implicadas; algunas que podrían llevar nombres famosos) ¿ocurre con otras parametrizaciones del círculo?

Quizás la más notable entre otras parametrizaciones --- casi seguramente una de las más conocidas --- es ésta: $$ \begin{align} x & = \frac{1-t^2}{1+t^2} \\[8pt] y & = \frac{2t}{1+t^2} \end{align} $$ (El espacio de los parámetros debe ser la compactificación de un punto $\mathbb{R}\cup\{\infty\}$ .)

Answer 1

Por cierto, hace unos años pasé algún tiempo tratando de encontrar conexiones entre la parametrización y la trigonometría natural de las curvas planas cerradas. Mi hipótesis es que la respuesta a tu pregunta es generalmente negativa.

Dado que el enunciado de su pregunta es bastante impreciso, limitaré mi argumento a una determinada comprensión de la trigonometría que considero relevante.

Así que supongo que la trigonometría es se trata de encontrar relaciones entre los arcos de una curva cerrada en general y la circunferencia en particular. Probablemente sea una coincidencia que la relación fundamental entre el seno y el coseno dé la parametrización correspondiente.

Ahora intentaré apoyar mis afirmaciones genéricas de forma medianamente rigurosa construyendo un contraejemplo.

Basándonos en la comprensión anterior de la trigonometría, adoptaremos las siguientes definiciones de seno y coseno en términos de longitud de arco:

$$\phi=\int_0^{\sin \phi}\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}} \qquad \phi'=\int_{\cos \phi'}^1\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}$$

Ahora toma la segunda integral, digamos, y la sustituye:

$$t^2=1-z^2$$

$$\phi=\int_{\cos\phi}^{1}\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}=-\int_{\sqrt{1-\cos^2\phi}}^0\frac{z\,dz}{z\sqrt{1-z^2}}=\int_{0}^{\sqrt{1-\cos^2\phi}}\frac{dz}{\sqrt{1-z^2}}$$

Comparando los límites deducimos la identidad fundamental como implicación directa de las definiciones.

Consideremos ahora la siguiente generalización. Definir el seno y el coseno lemniscata (ver Artículo de Wolframio para más detalles) como sigue:

$$\phi=\int_0^{\operatorname{sinlemn}\phi}\frac{dt}{\sqrt{1-t^4}}\qquad\phi=\int_{\operatorname{coslemn}\phi}^{1}\frac{dt}{\sqrt{1-t^4}}$$

Ahora de forma similar dejemos:

$$t^2=\frac{1-z^2}{1+z^2}$$

$$dt=-\sqrt{\frac{1+z^2}{1-z^2}}\frac{2z^3\,dz}{(1+z^2)^2}$$ $$\phi=-\int_{\sqrt{\frac{1-\operatorname{coslemn}^2\phi}{1+\operatorname{coslemn}^2\phi}}}^0\frac{1}{z}\frac{(1+z^2)}{2z^2}\sqrt{\frac{1+z^2}{1-z^2}}\frac{2z^3\,dz}{(1+z^2)^2}=\int_0^{\sqrt{\frac{1-\operatorname{coslemn}^2\phi}{1+\operatorname{coslemn}^2\phi}}}\frac{dz}{\sqrt{\frac{1-z^2}{1+z^2}}(1+z^2)} =\int_0^{\sqrt{\frac{1-\operatorname{coslemn}^2\phi}{1+\operatorname{coslemn}^2\phi}}}\frac{dz}{\sqrt{1-z^4}}=\int_0^{\sqrt{\frac{1-\operatorname{coslemn}^2\phi}{1+\operatorname{coslemn}^2\phi}}}\frac{dt}{\sqrt{1-t^4}}$$

Por lo tanto, deducimos

$$\operatorname{sinlemn}^2\phi=\frac{1-\operatorname{coslemn}^2\phi}{1+\operatorname{coslemn}^2\phi}$$

que es un análogo de la identidad fundamental para las funciones lemniscadas. Whittaker y Watson ofrece al lector la posibilidad de demostrarlo utilizando la conexión con las funciones elípticas de Jacobi (véase la página de Wolfram). Utilizando la misma conexión es posible demostrar, por ejemplo, el teorema de la suma

$$\operatorname{sinlemn}(x+y)=\frac{\operatorname{sinlemn}x \operatorname{coslemn} y +\operatorname{coslemn}x \operatorname{sinlemn} y}{1-\operatorname{sinlemn}x \operatorname{sinlemn}y \operatorname{coslemn} x \, \operatorname{coslemn} y}$$

Algunos otras identidades que no son exactamente relevantes para la presente discusión pueden deducirse de las definiciones.

Lemniscate es un conocido $\infty$ -curva algebraica de cuarto orden

dado en coordenadas cartesianas por la ecuación:

$$(x^2+y^2)^2=a^2(x^2-y^2)$$

y en coordenadas polares por

$$\rho=\sqrt{\cos2\theta}$$

Configuración $$y=xt$$ también es posible obtener una parametrización racional.

Ahora bien, si trazamos la identidad de las funciones lemniscadas, obtenemos algo que no se acerca a esa forma:

Aun así, las funciones lemniscadas dan una representación para la lemniscada en la siguiente forma polar: $$\rho=\operatorname{sinlemn} \theta$$ de la misma manera que el círculo viene dado por $$\rho=\sin \theta$$

Así, la cuestión es que la definición natural de las funciones trigonométricas para una determinada curva y la parametrización de la misma curva son dos tareas diferentes cuyos resultados no están necesariamente vinculados entre sí.

De ello se desprenden algunas implicaciones interesantes.

1. Obviamente, la definición de un sistema trigonométrico se puede generalizar a otras curvas cerradas con la definición aparente: $$\phi=\int_0^{\mathscr{S}(\phi)}dl\qquad \phi=\int_{\mathscr{C}(\phi)}^1 dl$$

donde es fácil saber que, si

$$\omega=\int_0^1 dl$$

entonces

$$\mathscr{S}\left(\phi-\frac{\omega}{2}\right)=\mathscr{C}\left(\phi\right)$$

2. Las funciones hiperbólicas generalizadas pueden definirse mediante el área bajo una curva. En el caso de la lemniscata es fácil demostrar ( $x\to ix$ ) que la relación convencional con las funciones "trigonométricas" se mantiene y la "hipérbola" que responde ( $y^2\to-y^2$ ) tiene 4 ramas.

3. Viendo los trucos utilizados para transformar integrales (que son en gran parte ingeniería inversa) también podemos decir que las funciones trigonométricas tienen la propiedad de dejar una forma diferencial $p(x) \, dx$ invariante bajo el cambio de coordenadas. Tal vez esto se pueda generalizar al caso $\sum p_i \, dx_i\ldots$

Espero no haberme salido demasiado por la tangente, pero entonces uno puede hacer cosas sofisticadas en trigonometría

Answer 2

Si dejamos que $\mathop{\mathrm{cosr}}(t) = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ y $\mathop{\mathrm{sinr}}(t) = \frac{2t}{1+t^2}$ y por supuesto $\mathop{\mathrm{tanr}}(t) = \frac{2t}{1-t^2}$ (abreviatura de "coseno racional" y "seno racional"), entonces existe algún tipo de identidad trigonométrica entre $\mathop{\mathrm{cosr}}$ y $\mathop{\mathrm{sinr}}$ que se asemeja a $\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\,\cos\beta - \sin\alpha\,\sin\beta$ y $\sin(\alpha+\beta) = \cos\alpha\,\sin\beta + \sin\alpha\,\cos\beta$ a saber:

$$\mathop{\mathrm{cosr}}(u\star v) = \mathop{\mathrm{cosr}}u\,\mathop{\mathrm{cosr}}v - \mathop{\mathrm{sinr}}u\,\mathop{\mathrm{sinr}}v$$

$$\mathop{\mathrm{sinr}}(u\star v) = \mathop{\mathrm{cosr}}u\,\mathop{\mathrm{sinr}}v + \mathop{\mathrm{sinr}}u\,\mathop{\mathrm{cosr}}v$$

y también

$$\mathop{\mathrm{tanr}}(u\star v) = \mathop{\mathrm{tanr}}u \star \mathop{\mathrm{tanr}}v$$

donde

$$u \star v = \frac{u+v}{1-uv}$$

es la función racional que da la composición de las tangentes ( $\tan(\alpha+\beta) = \tan\alpha \star \tan\beta$ ). Esto es simplemente porque $\mathop{\mathrm{cosr}}(\tan\frac{\theta}{2}) = \cos\theta$ y de manera similar $\mathop{\mathrm{sinr}}(\tan\frac{\theta}{2}) = \sin\theta$ . También hay que tener en cuenta que $\mathop{\mathrm{tanr}}t = t\star t$ .

La moraleja de la historia es que $\star$ define la ley de grupo en el círculo cuando se parametriza utilizando $t$ (precisamente, $\star$ es una ley algebraica de grupo en $\mathbb{P}^1_{\mathbb{R}} \setminus \{\pm i\}$ siendo este último isomorfo al círculo mediante $t \mapsto (\mathop{\mathrm{cosr}}t,\mathop{\mathrm{sinr}}t)$ ).

[ Editar: Esta es una forma ligeramente diferente de decirlo. Deberíamos ver $\cos$ como el compuesto de dos funciones: primero, la parametrización trascendental $\theta \mapsto (\cos\theta,\sin\theta)$ del círculo (o $\theta \mapsto e^{i\theta}$ si lo desea), y en segundo lugar la proyección del círculo a la $x$ coordinar; de manera similar, $\sin$ es la misma con la proyección a la $y$ mientras que la coordenada $\mathop{\mathrm{cosr}}$ y $\mathop{\mathrm{sinr}}$ sustituir la parametrización trascendental por la parametrización racional que es un isomorfismo entre $\mathbb{P}^1_{\mathbb{R}} \setminus \{\pm i\}$ y el círculo. Ahora una identidad como $\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\,\cos\beta - \sin\alpha\,\sin\beta$ consta de dos partes: (A) la parametrización trascendental $\theta \mapsto (\cos\theta,\sin\theta)$ es un homomorfismo de grupos (analíticos complejos) de $\mathbb{R}$ (con su adición habitual) al círculo (con su composición habitual, por ejemplo, la multiplicación de números complejos de módulo  $1$ ), y (B) si $x,y$ son las (proyecciones a las) primeras y segundas coordenadas del círculo, entonces la composición en el círculo viene dada por $x = x'x'' - y'y''$ y $y = x'y'' + y'x''$ si $(x,y)$ es el compuesto de $(x',y')$ y $(x'',y'')$ . Para la parametrización racional, tenemos que cambiar (A) para decir que la parametrización racional es un isomorfismo de grupos entre $\mathbb{P}^1_{\mathbb{R}} \setminus \{\pm i\}$ y el círculo, donde este último tiene su composición habitual y el primero tiene cualquier ley de composición hace que la parametrización racional sea un isomorfismo(!), y que cuando se computa da la ley de grupo $\star$ escrito arriba].