Demuestre que cualquier subgrupo de un grupo abeliano finitamente generado es finitamente generado?

Question

Estoy trabajando con Rotman 2.89 y no puedo resolver esto. Nota: Por favor, no me enlace a las preguntas relacionadas como Probar que un subgrupo de un grupo abeliano finitamente generado es finitamente generado . Prefiero resolver esto usando los métodos "elementales" presentados en el texto hasta ahora, ya que creo que aprenderé más de esta manera. El libro sugiere la inducción sobre n (el número de generadores), y considerar el grupo cociente, pero no sé cómo ayuda eso. No veo qué propiedad de estos cosets los hace útiles para la prueba. La hipótesis en sí parece bastante intuitiva, pero no sé cómo proceder utilizando sólo cosas básicas como el primer teorema de isomorfismo, el teorema de correspondencia, el de Lagrange, etc.

Edición: Por favor, sugiera formas de demostrar esto usando sólo propiedades de grupo muy básicas como las anteriores.

Answer 1

Espero que esto no se parezca demasiado a lo que no quieres ver.

He aquí un bonito resultado general: en un EPI, un submódulo de un módulo libre finitamente generado es finitamente generado de menor o igual rango. La prueba que sigue la había escrito antes (y espero que sea suficiente/no demasiado complicada), así que utiliza $\mathbb Z$ en lugar de un PID general $R$ .

Para ver esto, procedemos por inducción en $n$ . En primer lugar, para $n=1$ sabemos que los submódulos de $\mathbb Z$ corresponden a ideales de $\mathbb Z$ que son principales, por lo tanto generados por a lo sumo $1$ elemento. Supongamos que el $n-1$ caso, y que $M\subset \mathbb Z^n$ sea un submódulo $\mathbb Z^n$ . Entonces dejemos que $\phi:M\to \mathbb Z$ sea dada por $$ \phi((x_1,\ldots,x_n))=\sum_{i=1}^n x_i. $$ Entonces $\phi$ es un $\mathbb Z$ -por lo que obtenemos una secuencia exacta corta $$ 0\to \ker\phi\to M\to \operatorname{im}\phi\to 0. $$ $\ker\phi$ es un submódulo $\mathbb Z^{n-1}$ por lo que está libre de rango como máximo $n-1$ . También, $\operatorname{im}\phi\subset\mathbb Z$ es un submódulo, hemos demostrado que es libre, por lo que en particular es proyectivo. Por lo tanto, la secuencia está dividida, por lo que tenemos $M=\ker\phi\oplus\operatorname{im}\phi$ que tiene un rango máximo de $n$ .

Aplicando esto a la situación particular, dejemos $\mathbb Z^n\to A$ sea una suryección, que existe ya que $A$ es generado por $n$ elementos. Para $B\subset A$ tenemos $f^{-1}(B)$ es libre de rango como máximo $n$ por lo que la suryección $f^{-1}(B)\cong\mathbb Z^n\to B\to 0$ implica que $B$ es generado por $n$ elementos