Probabilidad condicional y álgebras sigma independientes

Question

Ejercicio: Dada una variable aleatoria $X$ , álgebras sigma $\mathcal{G},\mathcal{H}$ tal que $\mathcal{H}$ es independiente de ambos $\mathcal{G}$ y $X$ demostrar que $\operatorname{E}[X\mid\sigma(\mathcal{G},\mathcal{H})]=\operatorname{E}[X\mid\mathcal{G}]$ .

He demostrado que $\sigma(\mathcal{G},\mathcal{H})=\sigma(S)$ donde $S=\{ H\cap G \vert H\in\mathcal{H},G\in\mathcal{G}\}$ .
Obviamente $\operatorname{E}[X\mid\mathcal{G}]$ es $\sigma(\mathcal{G},\mathcal{H})$ -mesurable. También he demostrado que $\forall A\in S ,\ \operatorname{E}[X\mid\mathcal{G}]$ satisface la propiedad de la expectativa condicional, es decir $\int_AX=\int_A\operatorname{E}[X\mid\mathcal{G}]$

Me gustaría saber si puedo concluir utilizando un criterio de coincidencia de medidas finitas:
dado $A\in\sigma(\mathcal{G},\mathcal{H})$ los mapas que envían $A \rightarrow \int_AX$ y $A \rightarrow \int_A\operatorname{E}[X\mid\mathcal{G}]$ son medidas finitas bien definidas en $\sigma(\mathcal{G},\mathcal{H})$ y ambos coinciden en $S$ que es un conjunto de generadores para $\sigma(\mathcal{G},\mathcal{H})$ y también es estable bajo intersección finita, por lo que dichas medidas coinciden en $\sigma(\mathcal{G},\mathcal{H})$ que es equivalente a lo que quiero mostrar.

Gracias

Answer 1

Sí, el criterio que está aplicando se conoce a veces como el Lema de unicidad :

Dejemos que $\mathcal I$ ser un $\pi$ -sistema. Si dos medidas finitas coinciden en $\mathcal I$ , entonces se ponen de acuerdo en $\sigma({\mathcal I})$ .

A $\pi$ -sistema es una colección de conjuntos que es cerrada bajo intersección finita, lo cual es cierto para su familia $S$ .