Extensión de funciones en un espacio de Sobolev

Question

Dejemos que $\Omega$ sea un dominio de $R^n$ y que $H^2(\Omega)$ sea el espacio de Sobolev habitual.

Dejemos que $\emptyset\ne \omega_1\subset\omega_2$ sean subconjuntos abiertos de $\Omega$ y que $\theta \in H^2(\omega_1)$ .

Me pregunto si existe una función $\tilde{\theta} \in H^2(\Omega)$ tal que :

1) $\tilde{\theta}=\theta$ en $\omega_1$ ,

2) $\tilde{\theta} $ es constante en $\Omega-\omega_2$ .

Gracias.

Answer 1

La respuesta es sí, con la salvedad indicada en el comentario que sigue. Considere una extensión arbitraria $\hat{\theta}\in H^2(\Omega)$ . Elija ahora una función suave soportada de forma compacta $\eta$ tal que

$${\rm supp}\;\eta\subset \Omega\setminus \omega_2,\;\;\eta\equiv 1 \;\;\mbox{on $ \N - 1 $}. $$

La función $\tilde{\theta}=\eta\cdot \hat{\theta}$ tiene las propiedades que usted pidió.