Dominio de la derivada total

Question

Supongamos que tengo un mapa $F: \mathbb{R^{m}} \rightarrow \mathbb{R^{n}}$ . Estoy luchando por conseguir una comprensión intuitiva del significado de la derivada total $dF_p: \mathbb{R^{m}} \rightarrow \mathbb{R^{n}}$ en un punto $p \in \mathbb{R^{m}}$ . Obviamente, esto representará algún $n \times m$ matriz. Ahora, cada entrada de esta matriz será de la forma $\frac{\partial F_i}{\partial x_j}$ y, por lo tanto, será una función de $(x_1,...,x_m)$ .

Según tengo entendido, introducimos los valores de $p \in \mathbb{R^{m}}$ en esta matriz, dando así un $n \times m$ matriz de números reales, y entonces esto define el mapa $dF_p: \mathbb{R^{m}} \rightarrow \mathbb{R^{n}}$ .

Sin embargo, el Teorema del Valor Regular establece que requerimos que este mapa sea suryente. Esto implica que podremos aplicar $dF_p$ a cualquier punto $q \in \mathbb{R^{m}}$ (de lo contrario, ¿cómo podemos $hit$ todos los valores de $\mathbb{R^{n}}$ ?) Pero este mapa es el diferencial en $p$ y, por lo tanto, cómo tiene sentido aplicarlo en otro lugar que no sea $p$ ?

Answer 1

No se aplica la matriz a $p$ . Informalmente, se aplica a un vector que apunta lejos de $p$ . La idea es la siguiente: para cada punto $p\in\mathbb R^n$ en el que $F$ es diferenciable, se puede encontrar un mapa lineal $\mathrm dF_p:\mathbb R^n\to\mathbb R^m$ tal que $$F(p+v)\approx F(p)+\mathrm dF_p(v).$$ Aquí, $\approx$ significa que un determinado límite es $0$ como $v$ va a $0$ pero eso no es importante para mi respuesta. Así que si quieres aproximar $F(p+v)$ sólo hay que aplicar el mapa lineal a $v$ . No se aplica a los puntos del dominio, sino a los vectores que apuntan entre los puntos. Esto puede no ser obvio en el entorno de los espacios vectoriales como dominios, pero es un poco más natural en el entorno de los espacios afines: un espacio afín es un conjunto de puntos $A$ junto con un espacio vectorial $V$ que describe los vectores que apuntan entre los puntos. Si tenemos un mapa diferenciable entre los conjuntos de puntos de los espacios afines, el diferencial es un mapa lineal entre los espacios vectoriales asociados a los espacios afines. Así que la diferencial de una función en un punto tiene un dominio y un rango realmente diferentes a los de la propia función. Sólo que en el entorno de los espacios vectoriales, el conjunto de puntos y el conjunto de vectores que apuntan entre los puntos es el mismo, por lo que la diferencia es menos aparente.