Si $f(z)$ es una función entera, demuestre que tiene un cero en $z_0$ de orden $k\ge 1$ si $z_0$ es un polo simple de $\frac{f'(z)}{f(z)}$

Question

Dejemos que $f(z)$ sea una función completa. Demostrar que $f(z)$ tiene un cero en $z_0$ de orden $k\ge 1$ si $z_0$ es un polo simple de $\frac{f'(z)}{f(z)}$ y el residuo de $\frac{f'(z)}{f(z)}$ en $z_0$ es $k$ . Ok, así que sé que toda la función $f(z)$ puede representarse como una serie de potencias $f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_nz^n$ donde $n\gt1$ que converge en todas partes en el plano complejo. Así que puedo decir que $f(z)$ es diferenciable en todas partes. Así que, ¿podría tomar la función polinómica tal vez y trabajar con eso, $f(x) = a_nx^n + a_{n1}x^{n1} + . . . + a_2x^2 + a_1x + a_0$ ?

Continuando con la respuesta de @Raclette más abajo,

$\frac{f'(z)}{f(z)}=\frac{k}{(z-z_0)g(z)} + \frac{g'(z)}{g(z)}$ o $=\frac{k+g'(z)(z-z_0)}{(z-z_0)g(z)}$

Answer 1

Escribe $f(z) = (z-z_0)^k g(z)$ donde $k$ es el orden del cero de $f$ en $z_0$ (es decir, si $k=0$ entonces $f$ no tiene cero en $z_0$  y si $k < 0$ entonces  $f$ tiene un polo en $z_0$ ) y $g(z)$  es analítica en una vecindad de $z_0$ .

Entonces $f'(z) = k(z-z_0)^{k-1}g(z) + (z-z_0)^kg'(z)$ .

Ahora, ¿qué es $\frac{f'(z)}{f(z)}$ ?