Dé ejemplos más sencillos de $L^p$ martingalas no limitadas pero convergentes

Question

He leído el siguiente ejemplo en el libro Contraejemplos en Probabilidad y Análisis Real por Gary L. Wise y Eric B. Hall:

¿Alguien conoce ejemplos más sencillos? Yo tengo uno. Estaría encantado de presentarlo, a menos que alguien dé un ejemplo más interesante que el mío. (Así que esta es una pregunta que eventualmente se responderá sola).

Answer 1

¿Qué te parece esto? Que $N$ ser geométrico con probabilidad de éxito $1/2$ (así $Pr[N=k]=1/2^k$ para $k \in \{1, 2, 3, \ldots\}$ ). Tome $X_1 =0$ . Para $1 \leq n < N$ definir de forma independiente:

$$ X_{n+1} = \left\{ \begin{array}{ll} X_{n} + (|X_{n}|+8^{n+1}) &\mbox{ with prob $1/2$} \\ X_{n} - (|X_{n}|+8^{n+1}) & \mbox{ with prob $1/2$} \end{array} \right. $$

Para $n> N$ definir $X_n = X_N$ . Entonces $|X_n|\geq 8^n$ siempre que $1<n \leq N$ y así para $n>1$ tenemos $E[|X_n|] \geq 8^nPr[n\leq N] = \frac{8^n}{2^{n-1}}\rightarrow\infty$ .

Answer 2

El ejemplo más sencillo que he encontrado hasta ahora:

Dejemos que $f_1,f_2,...,f_n$ sean variables aleatorias definidas en $([0,1], \mathscr L,leb)$ tal que

$f_n(x)=\begin {cases} n^2, \ \ if \ \ x\epsilon[0,\frac{1}{n})\\ 0, \ \ \ \ otherwise\\ \end {cases}$ .

Entonces $\mathbb E[f_n|f_{n-1},f_{n-2} ...]=f_{n-1}$ y $\int_{0}^{1}f_n\ d\mathbb leb=n.$

Tenga en cuenta que no necesitamos realmente $(\mathscr L,\mathbb {leb})$ . Sin embargo, explicar el caso más sencillo complicaría el ejemplo.

$$EDITED:$$

Mi contraejemplo es erróneo. Aquí está la martingala que tenía en mente:

$g_n(x)=\begin {cases} n, \ \ if \ \ x\epsilon[0,\frac{1}{n})\\ 0, \ \ \ \ otherwise\\ \end {cases}$ .

En este caso $\mathbb E[g_n|g_{n-1},g_{n-2} ...]=g_{n-1}$ es cierto. Antes no teníamos una martingala. Sin embargo, por desgracia $\int_{0}^{1}g_n\ d\mathbb leb=1 $ ahora. Es decir, mi ejemplo no sirve para sustituir los ejemplos más complicados. Pido disculpas. Lo que es cierto en el caso de la $g-$ La martingala es que $\int_{0}^{1}|f_n|^2\ d\mathbb leb=n$ . Pero esto no tiene nada que ver con mi reclamación. He metido la pata en todo esto.