Si la conorma de una transformación lineal es positiva, ¿es la transformación un isomorfismo?

Question

Definimos la conorma de una transformación lineal como $\inf\{\frac{|Tv|}{|v|}:v\ne0\}$ donde T es un mapa lineal entre espacios normativos.

Ya he demostrado que la conorma de un isomorfismo es positiva. Sin embargo, no estoy seguro de la inversa.

Creo que debería ser cierto para espacios finitamente dimensionales, ya que implicaría que $\ker(T)=\{0\}$ y sé que para espacios finitamente dimensionales esto ocurre si T es un isomorfismo.

Ahora bien, no sé mucho sobre espacios de dimensiones infinitas, así que mi pregunta es si hay un contraejemplo de ese tipo para el que esto no sea cierto.

Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

En $\ell^{2}$ definir $T(a_n)=(0,a_1,a_2,...)$ . Entonces el infmum es $1$ pero $T$ no es suryectiva por lo que no es un isomorfismo de $\ell^{2}$ sobre sí mismo. Sin embargo, lo siguiente es cierto:

Si el infimo es positivo y $T$ está acotado, entonces $T$ es un isomorfismo sobre su rango (que puede ser un subespacio propio).