Dejemos que $A = \{\frac{1}{n}:n\in\mathbb{N}\}$ . Demostrar que $f:A\to \mathbb{R}$ es continua.

Question

Dejemos que $A = \{\frac{1}{n}:n\in\mathbb{N}\}$ . Supongamos que $f:A\to \mathbb{R}$ . Prueba $f$ es continua en $A$ .

Definición de continuidad: para todos $\varepsilon>0$ existe un $\delta>0$ tal que $\lvert xc\rvert<\delta$ (y $x \in A$ ) implica $\lvert f(x) f(c)\rvert < \varepsilon$ ;

Lo que hice: Arreglar $c$ en $A$ . $\lvert f(x)-f(c) \rvert<\varepsilon$ . Entonces, no sé qué debo elegir para $\delta$ tal que $x$ estará en $(c-\delta,c+\delta)$ Tampoco conozco la función.

Por lo tanto, creo que la definición que he utilizado aquí no va a funcionar. Debería utilizar otra.

Entonces, no sé cómo utilizar la definición 4 para demostrarlo.

Answer 1

Utilizando la primera definición de continuidad, dado un punto $a \in A$ y $\varepsilon > 0$ , quiere elegir $\delta$ lo suficientemente pequeño como para que todos los puntos de $A$ que están dentro de $\delta$ de $a$ tienen valores de función dentro de $\varepsilon$ de $f(a)$ . Como $A$ es discreto, puede elegir $\delta$ lo suficientemente pequeño como para que el único punto dentro de $\delta$ de $a$ es $a$ sí mismo.

Por ejemplo, supongamos que queremos demostrar que $f : A \to \mathbb{R}$ es continua en $\frac{1}{2}$ . Sea $\varepsilon > 0$ . Al tomar $\delta = \frac{1}{6}$ (o algo más pequeño), se encuentra que el único elemento de $A$ que satisface $|a - \frac{1}{2}| < \delta$ es $a = \frac{1}{2}$ . Pero entonces $\left|f(a) - f\left(\frac{1}{2}\right)\right| < \varepsilon$ es ciertamente cierto (porque $f(a) = f\left(\frac{1}{2}\right)$ ).

Si puedes entender lo que ocurre en el ejemplo anterior, deberías ser capaz de escribir una prueba que muestre cómo garantizar la continuidad en cualquier punto de $A$ .

Answer 2

Los elementos más cercanos a $c=1/n$ en $A$ son $$ \frac{1}{n-1}= \frac{c}{1-c} \quad \text{and} \quad \frac{1}{n+1} = \frac{c}{1+c}. $$ Son distancias $$ c\left( \frac{1}{1-c}-1\right) = \frac{c^2}{1-c} \quad \text{and} \quad c\left( 1-\frac{1}{1+c}\right) = \frac{c^2}{1+c} $$ de $c$ . Escoge $\delta$ menor que el mínimo de estos dos, y sólo hay un elemento de $A$ en $(c-\delta,c+\delta)$ que es $c$ (y esto funciona para cualquier $\varepsilon>0$ ).

Answer 3

Cualquier función de un espacio topológico discreto a otro espacio topológico es continua, se podría ampliar en eso las preimágenes de conjuntos abiertos sobre $ \mathbb{R} $ va a ser un conjunto abierto en $A$ .