En el Teorema de Metrización de Urysohn, en algún momento definimos una función $F : X \rightarrow H$ del espacio X al espacio de Hilbert $H$ . Con lo cual tenemos que demostrar que $F$ es una incrustación. Para demostrarlo, aparentemente basta con mostrar que $F$ es
No veo en qué se diferencian los dos últimos.
La continuidad se demuestra con conjuntos abiertos, así que ¿es un mapa abierto?
Un mapa es continuo si la preimagen de los conjuntos abiertos son conjuntos abiertos y está abierto si imagen directa de un conjunto abierto son conjuntos abiertos .
Más concretamente, $f:X\to Y$ es continuo si $f^{-1}(V)\subset X$ es abierto para cualquier conjunto abierto $V\subset Y$ .
Está abierto si $f(U)\subset Y$ es Abrir para cualquier conjunto abierto $U\subset X$ .
Una cartografía abierta es una función $f:X\to Y$ de manera que si $U\subseteq X$ está abierto, entonces $f(U)$ está abierto. Una función continua es aquella que si $V\subseteq Y$ está abierto, entonces $f^{-1}(V)$ está abierto.
Para un ejemplo de una función continua que no es abierta, tomemos $f:\mathbb R\to \mathbb R$ definido por $f(x)=0$ . Para un ejemplo de una función abierta que no es continua, dar $X$ la topología trivial y que $Y$ sea el mismo conjunto con la topología discreta. Si $|X|>1$ entonces el mapa de identidad $f:X\to Y$ es abierta pero no continua. Para un ejemplo de tal función sobre $\mathbb R$ con la topología habitual, véase aquí .
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