Demostrar que los coeficientes de la forma de cúspide están siempre en $\mathbb{Z}$

Question

Tengo problemas para probar que la forma de cúspide $\Delta$ tiene siempre coeficientes enteros. Utilizando \begin{equation} \Delta = (E_4^3-E_6^2)/1728 \end{equation} Y sabiendo que \begin{equation} E_4 = 1-\frac{8}{B_4}q-\frac{8}{B_4}\sum_{n\geq 2}\sigma_3(n)q^n \end{equation}

\begin{equation} E_6 = 1-\frac{12}{B_6}q-\frac{12}{B_6}\sum_{n\geq 2}\sigma_5(n)q^n \end{equation}

He calculado $E_4^3-E_6^2$ a mano y el primer coeficiente de $q$ es de hecho $1728$ . El coeficiente de $q^2$ es $-41472$ que es divisible por $1728$ . También calculé el coeficiente de $q^3$ ( $435456$ ) pero para $q^k$ , $k\geq 4$ no es evidente si su coeficiente es divisible por $1728$ sin evaluar la expresión explícitamente. ¿Qué puedo hacer?

Answer 1

Es bien sabido que $$\Delta=q\prod_{n=1}^\infty(1-q^n)^{24}.$$

Por otro lado $$E_4=1+240\sum_{n=1}^\infty \sigma_3(n) q^n=1+480f(q)$$ y $$E_6=1-504\sum_{n=1}^\infty \sigma_5(n) q^n=1-504g(q)$$ donde $f$ y $g$ tienen coeficientes enteros. Entonces $$E_4^3-E_6^2=720f(q)+172800f(q)^2+13824000f(q)^3 +1008g(q)-254016g(q)^2 \equiv 720f(q)+1008g(q)=144(5f(q)+7g(q))\pmod{1728}.$$ Tenemos que demostrar que $5f(q)+7g(q)\equiv0\pmod{12}$ .

El $q^n$ coeficiente de $5f(q)+7g(q)$ es $$5\sigma_3(n)+7\sigma_5(n)=\sum_{d\mid n} (5d^3+7d^5).$$ Todo lo que queda por hacer es demostrar que $5d^3+7d^5$ es siempre un múltiplo de $12$ .