Dejemos que $\Omega\subset R^2$ sea un dominio simplemente conexo con frontera suave $\partial \Omega$ . Sea $\Gamma_1$ sea un subconjunto de $\partial \Omega$ tal que $\partial\Omega\subset\overline \Gamma_1\neq\emptyset$ . ¿Existe una función armónica $u\in C^\infty(\overline\Omega)$ tal que $|\nabla u|\neq 0$ en $\overline\Omega$ y $\frac{\partial u}{\partial\nu} = 0$ en $\Gamma_1$ ? Aquí $\nu$ denota el vector normal hacia el exterior de $\Omega$ .
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
user103402
Puntos
1182
Supongo que " $\partial \Omega\subset \overline{\Gamma_1}\ne \emptyset$ " debe ser " $\partial \Omega\setminus \overline{\Gamma_1}\ne \emptyset$ ".
La respuesta es sí, tal $u$ existe. Sea $\Omega'$ ser un $C^\infty$ -dominio liso tal que $\partial \Omega$ contiene un segmento de línea horizontal $L$ . Se puede mapear conformemente $\Omega$ en $\Omega'$ para que la imagen de $\overline{\Gamma_1}$ está contenida en $L$ . El mapa conformacional es $C^\infty$ suave en el cierre del dominio, en ambas direcciones.
La función $z\mapsto \operatorname{Re}z$ es armónico en $\Omega'$ no tiene gradiente que desaparezca en ninguna parte, y tiene una derivada normal nula en cada punto de $L$ . La transferencia de esta función a $\Omega$ se obtiene el $u$ ya que la armonicidad se preserva bajo la composición con mapas conformes, y la derivada normal es simplemente escalada por la derivada del mapa conforme.
