No hay ningún número racional más grande $p$ tal que $p^2 < 2$

Question

En el ejemplo de análisis 1.1 de Rudin, trató de demostrar lo siguiente

Dejemos que $A$ sea el conjunto de todos los racionales positivos $p$ tal que $p^2<2$ y que $B$ consiste en todos los racionales positivos $p$ tal que $p^2 > 2$ . Demuestra que $A$ no contiene ningún número mayor y $B$ no contiene el más pequeño

Más explícitamente, para cada $p$ en $A$ podemos encontrar un racional $q$ en $A$ tal que $p < q$ y viceversa

A continuación, muestra

$$q = p - \frac{p^2 - 2}{p + 2}$$

$$q^2 - 2 = \frac{2(p^2 - 2)}{(p + 2)^2}$$

y concluir que si $p$ en $A$ entonces $p^2 - 2 < 0 \rightarrow q^2 < 2$ y $q > p $ y viceversa.

Entiendo la conclusión, y entiendo la hipótesis, pero no entendí cómo llegó

$$q = p - \frac{p^2 - 2}{p + 2}$$

y

$$q^2 - 2 = \frac{2(p^2 - 2)}{(p + 2)^2}$$

En concreto, creo que intenta demostrar lo siguiente

Si $p$ en $A$ , dejemos que $q$ sea un número mayor que $p$

$$q = p + \beta$$

mostrar ahora

$$q^2 - 2 < 0 \Rightarrow q^2 - 2 = p^2 + 2\beta p + \beta^2 - 2$$

Utilizo la ecuación cuadrática para encontrar el umbral de $\beta$ pero no puedo derivar lo que Rudin da, ¿alguien puede explicar cómo Rudin obtuvo sus ecuaciones?

Answer 1

Observe que: $p^2 < 2 \Rightarrow p^2+2p < 2 + 2p \Rightarrow p(p+2) < 2+2p \Rightarrow p < \dfrac{2+2p}{p+2}\in \mathbb{Q}$ . A continuación, puso $q = \dfrac{2+2p}{p+2}$ entonces $p < q$ de la definición de $q$ y además: $q^2 - 2 = \left(\dfrac{2+2p}{p+2}\right)^2 - 2= \dfrac{4+8p+4p^2}{p^2+4p+4} - 2= \dfrac{2}{(p+2)^2}\cdot (p^2-2) < 0\Rightarrow q^2< 2.$

Answer 2

Él es definir $q$ por la fórmula anterior. Porque $p^2-2<0$ tenemos $q>p$ y por la fórmula de $q^2-2$ (que es $<0$ ), tenemos $q^2 < 2$ . Así que $q \in A $ y $p<q$ .

Answer 3

Tal vez puedas verlo de la siguiente manera:

está buscando un $\beta >0$ y racional tal que $(p+\beta)^2 < 2$ , nótese que esto significa que necesariamente $p+\beta < 2^{\frac{1}{2}}<2$ .

Ahora $(p+\beta)^2 < 2 \Leftrightarrow 2\beta p + \beta^2 < 2-p^2 \Leftrightarrow \beta< \frac{2-p^2}{p + p +\beta} $ pero para cualquier $\beta$ que está buscando, tiene $p+\beta <2$ y así $\frac{2-p^2}{p + 2}<\frac{2-p^2}{p + p +\beta}$ . Y así cualquier $\beta \in ]0;\frac{2-p^2}{p + 2}]$ debería estar bien para lo que usted quiere, por lo tanto puede tomar $\beta = \frac{2-p^2}{p + 2}$ .

¿Te parece un poco más natural ahora?