Estoy tratando de entender el concepto de grupo de factores. La definición de grupo de factores que conozco es la siguiente: Sea $G$ sea un grupo y $H$ sea un subgrupo de $G$ . Entonces el grupo de cosets denotado por $G/H$ se llama el grupo de factores de $G$ por $H$ . Ahora estoy viendo un ejemplo: Dejemos que $G=\mathbb{Z}$ y $H=5\mathbb{Z}$ . Entonces encuentro los cosets de $5\mathbb{Z}$ . Aquí están:
- Cosets de $5\mathbb{Z}$ que contiene $0$ , $\{\ldots,-10,-5,0,5,10,\ldots\}$
- Cosets de $5\mathbb{Z}$ que contiene $1$ , $\{\ldots,-9,-4,1,6,11,\ldots\}$
- Cosets de $5\mathbb{Z}$ que contiene $2$ , $\{\ldots,-8,-3,2,7,12,\ldots\}$
- Cosets de $5\mathbb{Z}$ que contiene $3$ , $\{\ldots,-7,-2,3,8,13,\ldots\}$
- Cosets de $5\mathbb{Z}$ que contiene $4$ , $\{\ldots,-6,-1,4,9,14,\ldots\}$
Mi pregunta es si el grupo de factores $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ la unión de todos estos $5$ ¿Cosets? Entonces creo que $G/5\mathbb{Z} =\mathbb{Z}$ ya que la unión de estos cosets es igual a $\mathbb{Z}$ . ¿Puede alguien ayudarme con esto?
Gracias.
